Teorema. C(X) fazo kiritilgan normaga nisbatan Banax fazosi bo‘ladi. Isboti. Aytaylik fundamental ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Ya’ni, ixtiyoriy uchun shunday N natural son topiladiki, ixtiyoriy uchun tengsizlik hamma x nuqtalarda bajariladi. Bitta nuqtani tayinlab, conli ketma-ketlikni qarasak u fundemental bo‘ladi. Demak, biror songa yaqinlashadi.
Yuqoridagi tengsizlikda t bo‘yicha limitga o‘tsak,
ya’ni
munosabat hosil bo‘ladi. Demak, ketma–ketlik funksiyaga yaqinlashadi. Endi ning uzluksizligini isbotlash kifoya.
Ixtiyoriy uchun shunday m con topiladiki, tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Ushbu mconni tayinlab olsak, funksiya ixtiyoriy x0 nuqtada uzluksiz bo‘ladi, ya’ni x0 nuqtaning shunday atrofi topiladiki, ixtiyoriy nuqtada tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy nuqta uchun quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi:
ya’ni, uzluksiz funksiya.
Ushbu paragraf so‘ngida asosiy normalangan fazolarni jadval shaklida keltiramiz: