1-§. Chiziqli fazo va uning xossalari

Teorema. C(X) fazo kiritilgan normaga nisbatan Banax fazosi bo‘ladi.
Isboti. Aytaylik fundamental ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Ya’ni, ixtiyoriy uchun shunday N natural son topiladiki, ixtiyoriy uchun tengsizlik hamma x nuqtalarda bajariladi. Bitta nuqtani tayinlab, conli ketma-ketlikni qarasak u fundemental bo‘ladi. Demak, biror songa yaqinlashadi.
Yuqoridagi tengsizlikda t bo‘yicha limitga o‘tsak,
ya’ni
munosabat hosil bo‘ladi. Demak, ketma–ketlik funksiyaga yaqinlashadi. Endi ning uzluksizligini isbotlash kifoya.
Ixtiyoriy uchun shunday m con topiladiki, tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Ushbu m conni tayinlab olsak, funksiya ixtiyoriy x₀ nuqtada uzluksiz bo‘ladi, ya’ni x₀ nuqtaning shunday atrofi topiladiki, ixtiyoriy nuqtada tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy nuqta uchun quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi:

ya’ni, uzluksiz funksiya.
Ushbu paragraf so‘ngida asosiy normalangan fazolarni jadval shaklida keltiramiz:

Belgilash	Fazo elementlari	Norma uchun formula
	Haqiqiy sonlarning tartiblangan chekli ketma-ketligi (kortej)
	Haqiqiy sonlarning tartiblangan chekli ketma-ketligi (kortej)
	Haqiqiy sonlarning tartiblangan chekli ketma-ketligi (kortej)
	Ushbu sharti qanoatlantiruvchi cheksiz sonlar ketma-ketligi.
	Ushbu sharti qanoatlantiruvchi cheksiz sonlar ketma-ketligi.
m	Chegaralangan ketma-ketliklar
C2[a,b]	[a,b] da uzluksiz funksiyalar
C1[a,b]	[a,b] da uzluksiz funksiyalar
C[a, b]	[a,b] da uzluksiz funksiyalar
D^n[a,b]	[a,b] da barcha n-chi tartibli xosilalarigacha uzluksiz bo‘lgan funksiyalar.