1- mavzu: Matrisalar. Matrisalar ustida amallar. Ikkinchi, uchinchi tartibli determinantlar va ularning xossalari. Laplas teoremasi. Dars rejasi

Teorema.

1. 
   Ixtiyoriy qator elemenlarini o’z algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytmalari yig’indisi determinant qiymatiga teng.
   
2. 
   Ixtiyoriy qator elementlari parallel qator elementlari algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytmalari yig’indisi nolga teng.^
   

, 0= ,
bunda, S=1…n≠k
Isbot. Soddalik uchun isbotni 3-tartibli determinantlar uchun keltiramiz (3-yo’l elementlarini tanladik).

+

Masalan, tengliklarni ham shunday tekshirish mumkin.

Misol.
Natija 1.Determinant biror qatori barcha elementlari nol bo’lsa, determinant qiymati nolga teng.
Natija 2. Agar determinantda bosh dioganal bir tarafida turgan elementlar nol bo’lsa, determinant qiymati bosh dioganal elementlari ko’paytmasiga teng.

Isboti yoyish teoremasidan kelib chiqadi.

Determinantlarning asosiy xossalari:
1⁰. Determinant transponirlash natijasida o’zgarmaydi. Boshqacha aytganda, transponirlangan matritsaning determinanti berilgan matritsa determinantiga teng.
2⁰. Agar determinantning satrlaridan biri noldan iborat bo’lsa, bunday determinant nolga teng bo’ladi.
3⁰. Agar bir determinant ikkinchisidan uning ikkita satrining o’rnini almashtirish orqali hosil qilingan bo’lsa, u holda birinchi determinantning barcha elementlari teskari ishora bilan ikkinchi determinantning ham elementlari bo’ladi, ya’ni ikkita satrining o’rni almashishidan determinant faqat ishorasini o’zgartiradi.
4⁰. Ikkita bir xil satrga ega bo’lgan matritsaning determinanti nolga teng.^

5⁰. Agar determinantning ixtiyoriy satri elementlari biror k songa ko’paytirilsa, u holda determinantning o’zi ham shu songa ko’pay tiriladi.

6⁰. Agar biror determinantning ikkita satri proportsional bo’lsa, bunday detetminant nolga teng.
7⁰. Agar n- tartibli determinant i-satrining barcha elementlari ikkita qo’shiluvchining yig’indisi ko’rinishda berilgan bo’lsa, u holda determinant shunday ikkita determinantning yig’indisiga teng bo’ladiki, bu determinantlarning i-satridan boshqa satrlari berilgan determinantning satrlari bilan bir xil bo’lib, ulardan birining i-satr elementlari elementlardan, ikkinchisining i-satridagi elementlari esa elementlardan iborat bo’ladi, ya’ni

Agar har qanday j (j≠i) nomerli satr uchun shunday k_j son topish mumkin bo’lsaki, j - satrni k_j ga ko’paytirib, so’ngra i - satrdan boshqa hamma satrlarni qo’shib, i - satrni hosil qilsak, u holda determinantning i - satrini uning qolgan satrlarining chiziqli kombinatsiyasi deyiladi .
8⁰. Satrlaridan biri qolgan satrlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat determinant nolga teng.
9⁰. Agar determinantning satrlaridan biriga uning boshqa satrining mos elementlarini biror songa ko’paytirib qo’shilsa, determinantning qiymati o’zgarmaydi. ³
Determinant biror elementining minori deb, shu determinantdan element turgan satr va ustunni o’chirish natijasida hosil bo’lgan determinantga aytiladi.
Determinant elementining algebraik to’ldiruvchisi quyidagicha aniqlanadi
.
Agar (4) kvadrat matritsaning determinantini 1-satr elementlari bo’yicha yoysak, u quyidagiga teng bo’ladi:
.
Endi ixtiyoriy tartibli determinantni hisoblashning ikkita usulini keltiramiz:

1. 
   Determinant tartibini pasaytirish usuli – determinant biror qatori elementlarining bittasidan boshqalarini oldindan nolga aylantirib, shu qator bo’yicha yoyish usuli.
   

Misol.

2. 
   Determinantni uchburchak ko’rinishga keltirish usuli. Bunda determinant elementlari ustida shunday almashtirish bajariladiki, bu almashtirish natijasida determinantning bosh diagonalidan bir tomonda yotuvchi hamma elementlari nolga aylantirilib, determinant uchburchak shaklga keltiriladi va u bosh diagonali elementlari ko’paytmasiga teng:
   

Misol. .³
Bu determinantning birinchi satrini 3 ga ko’paytirib to’rtinchi satriga qo’shdik, natijada asosiy diagonaldan pastdagi elementlarning barchasi nolga teng bo’ldi.
Birlik matritsaning determinanti birga teng, ya’ni .