1-§. Sirkul va chizg’ich yorlamida yasashga doir masalalar yasash pastulatlari…

3-§. Tekislikda geometrik yasashlarning turli metodlari.
Yasashga doir masalalarni yechishning turli metodlari mavjud bo’lib, quyidagilari asosiylaridir.

1. To’g’rilash metodi.

   
   

2. Geometrik o’rinlar metodi.

   
   

3. Geometrik almashtirishlar metodi.

   
   

4. Algebraik metod.

   
   

1. To’g’rilash metodi.

Bir to’g’ri chiziqda yotmagan kesmalarning, masalan siniq chiziq bo’g’inlarining algebraik yig’indisiga teng kesma yasash, kesmalarni to’g’rilash deb ataladi. To’g’rilashdan foydalanib masala yechish – yasashda to’g’rilash metodi deyiladi.
Yasashga doir masaladagi ma’lum elementlar qatorida izlanayotgan figura chiziqli noma’lum elementlarining yig’indisi yoki ayirmasi berilgan bo’lsa, bunday masala To’g’rilash metodi bilan oson yechiladi.
Misol: Balandligi, peremetri va asosiga yopishgan bitta burchagi berilgan uchburchak yasang.
CA=AD, CB=BF deb olsak, DF=2p, CH=h_c,

U holda ∆CDF ( ) yordamchi figura bo’ladi. Undan izlangan ∆ABC ga o’tish uchun DC va CF ning o’rta perpendikulyarlarini o’tkazib A va B nuqtalarni topamiz. Masala bo’lishi shart.

2. Geometrik o’rinlar metodi.
Geometrik o’rinlar metodida masala quyidagi ikki shartni qanoatlantiruvchi nuqtani topishga keltiriladi:
birinchi shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o’rni F₁ figuradan;
ikkinchi shartni bajaruvchi nuqtalarning geometrik o’rni F₂ figuradan iborat bo’lsin. Har ikki shartni qanoatlantiradigan nuqtalar F₁ F₂ kesishmaga tegishli bo’ladi.
Tekislikning ma’lum talablarga javob beruvchi biror yoki bir nechta nuqtasini topishga doir masalalar yoki shunday nuqtalarni topishga keltirib yechiladigan masalalar geometrik o’rinlar metodi bilan yechiladi.
Bu metod bilan masala yechish uchun o’rta maktabda ma’lum bo’lgan quyidagi asosiy geometrik o’rinlarni puxta bilish zarur:

1. Tekislikning biror O nuqtasidan ma’lum r uzoqlikda yotgan nuqtalarning geometrik o’rni shu O nuqtadan r bilan chizilgan aylana bo’ladi.

   
   

2. Berilgan to’g’ri chiziqdan ma’lum masofada yotgan naqtalarning geometrik o’rni shu to’g’ri chiziqdan ikki tarafda unga parallel va berilgan masofada joylashgan ikki to’g’ri chiziqdir.

   
   

3. Kesma uchlaridan teng uzoqlikdagi nuqtalarning geometrik o’rni shu kesmaning o’rta perpendikulyari bo’ladi.

   
   

4. Burchak tekisligida burchak tomonlaridan teng uzoqlikda yotuvchi nuqtalarning geometrik o’rni shu burchakning bissektrisasidir.

   
   

5. O’zaro parallel ikki to’g’ri chiziqdan teng uzoqlikdagi nuqtalarning geometrik o’rni bu to’g’ri chiziqlarning istalgan ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesma o’rtasidan shu to’g’ri chiziqlarga parallel qilib o’tkazilgan to’g’ri chiziqdir.

   
   

6. Berilgan AB kesma berilgan burchak (90⁰) ostida ko’rinadigan nuqtalarning geometrik o’rni berilgan kesmani diametr qilib chizilgan aylanadan iboratdir (bu geometrik o’ringa A, B nuqtalar kirmaydi).

   
   

7. Berilgan kesma (AB) berilgan (α) burchak ostida ko’rinuvchi nuqtalarning geometrik o’rni birilgan burchakni sig’diruvchi ikkita teng sigmentning berilgan kesma bilan tortilib turuvchi yoylaridan iboratdir (geometrik o’ringa A,B nuqtalar kirmaydi).

   
   

Bundan keyingi geometrik o’rinlar asosiy geometrik o’rinlardan biriga keltiriladi yoki ularning bir nechtasidan foydalanib topiladi.

4-chizma
Geometrik o’rinlar metodi bilan yechiladigan masalalarga misol tariqsida qiyidagi masalani yechaylik.

Masala: Aylanada shunday nuqta topilsinki, u berilgan ikki nuqtadan teng masofada yotsin.

Agar bizga A,B nuqtalar va ω aylana berilgan bo’lsa, izlanayotgan nuqta [AB] kesmaning o’rta perpendikulyari bilan aylana kesishgan nuqtasidan iborat bo’ladi.
3. Geometrik almashtirishlar metodi.

Geometrik almashtirishlardan foydalanib, geometrik masalalarni yechish mumkin. Bu metod bilan masala yechishni analiz bosqichida, berilgan va izlangan figuralardan tashqari, berilgan figuraning yoki uning biror qismini u yoki bu geometrik almashtirishlar natijasida hosil qilingan figuralar ham qaraladi. Bu figura qaysi geometrik almashtirishni qo’llab hosil qilingan bo’lsa, yasashga doir masala o’sha metod bilan yechilgan deb ataladi. Jumladan, simmetrik metodi, parallel ko’chirish metodi, gomotetiya metodi, inversiya metodi va h.k.

Misollar:

1. 
   
   MN to’g’ri chiziqning bir tarafida A va B nuqtalar joylashgan. MN to’g’ri chiziqda shunday X nuqta topilganki, bu nuqtadan A,B nuqtalargacha bo’lgan masofalarning yig’indisi eng kichik bo’lsin. (simmetrik metodi).
   

2. Asoslari va diognallari bo’yicha trapetsiya yasang (parallel ko’chirish metodi).

   
   
3. 
   
   A va B burchaklari va C uchidan chiqqan bissektrisasi bo’yicha uchburchak yasang (gomotetiya).
   

Sirkul va chizg’ich yordamida yechilmaydigan yasashga doir masalalarga misollar.