1. Chiziqli tenglamalar tizimini yechish Chiziqli dasturlash masalasini yechishning grafik usuli

Gauss usuli
Tizim matritsasi A ozod hadlar ustuni bilan kengaytirilsa, ya'ni n+1 ustun qilib ozod hadlar kiritilsa, uni
A₁X=0
Ko‘rinishida yozish mumkin. Bu yerda A1 kengaytirilgan matritsa, uning elementlari i=1,2,..,n; j=1,2,..,n uchun A matritsa elementlariga, n+1 -ustuni ozod hadlarga teng qilib olingan, ya'ni, a_ij=a_ij, j=1,2,..,n; a_in+1=-b_i, i=1,2,..,n.
Yuqoridagi (3.1) tenglamalar tizimini yechish ikki bosqichda bajariladi.
Birinchi bosqich. Bu bosqich Gauss usulining to‘g‘ri yo‘li deb atalib, bunda tenglamalar tizimi matritsasi A1 uch burchakli holga keltiriladi, ya'ni

Bu matritsa elementlari k=1,2,..,n uchun ketma-ket

formulalar bilan hisoblanadi.
Ikkinchi bosqich. Bu bosqichda no‘malumlar ketma-ket quyidagi formula bilan aniqlanadi.

Jordan-Gauss usuli
Jordan-Gauss usuli chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun zarurat tug‘ulganda A^-1 teskari matritsani topish uchun eng qulay usullardan biridir. Bu usul mohiyati quyidagidan iborat: Tizimdagi birinchi tenglamadan ixtiyoriy 0 dan farqli koeffitsientli noma’lum tanlanadi va birinchi tenglamaning hamma hadlari shu koeffitsientga bo‘linadi. Birinchi tenglama yordamida tanlangan noma’lum boshqa hamma tenlamalardan yo‘qotiladi. Ikkinchi tenglamadan ixtiyoriy 0 dan farqli koeffitsientli noma’lum tanlanadi va ikkinchi tenglamaning hamma hadlari shu koeffitsientga bo‘lib chiqiladi. Bu tenglama yordamida tanlangan noma'lum qolgan hamma tenlamalardan yo‘qotiladi va hokazo.

Tizimni yechish jarayonida quyidagi hollar yuz berishi mumkin:

- birorta tenglamaning chap tomoni 0 ga aylanib, o‘ng tomoni 0 dan farqli bo‘lib qolishi mumkin. Bu holda tizim yechimga ega bo‘lmaydi.
- birorta tenglamaning chap tomoni va o‘ng tomoni ham 0 ga aylanib, qolishi mumkin. Bu tenglamani noma'lumlarning ixtiyoriy son qiymatlari qanoatlantirganligi sabab uni tashlab yuborish mumkin.
- har bir tenglamadan bittadan noma'lum topilgandan so‘ng tizim yechimi hosil bo‘ladi.
Misol.

1)Birinchi tenglamadagi х₁ ni boshqa tenglamalardan yo‘qotish uchun 1-tenglamani 2 ga ko‘paytirib 2-tenglamaga, (-1)ga ko‘paytirib, 3-tenglamaga qo‘shamiz. Natijada quyidagi tizim hosil bo‘ladi:

2)Ikkinchi tenglamadan х₂ ni tanlab, bu tenglamani х₂ oldidagi koeffitsient 3ga bo‘lamiz. Bu yerda koeffitsient 3 ni aniqlovchi koeffitsient deb ataymiz. Hosil bo‘lgan tenglamani (-1)ga ko‘paytirib birinchi tenglamaga qo‘shamiz. Natijada quyidagi tizimni hosil qilamiz:

3)Bu tizimdan 3 - tenglamani х₃ oldidagi koeffitsient 2 ga bo‘lamiz. Hosil bo‘lgan tenglamani ga ko‘paytirib 1-tenglamaga va ga ko‘paytirib, 2-tenglamaga qo‘shamiz.

Jordan - Gauss usuli bo‘yicha qilgan hamma ishlarimiz natijasida

matritsani

birlik matritsaga aylantirdik. Bundan bajargan hamma algebraik almashtirishlarimiz berilgan A matritsani А^-1 matritsaga ko‘paytirishga ekvivalent ekanligi ko‘rinadi.

Misol.

Berilgan tizimga Jordan-Gauss usulini qo‘llab, quyidagi tizimga ega bo‘lamiz.

Bundan tizimning umumiy yechimini topamiz.

Bu yerda x₁, x₂, x₃ o‘zgaruvchilarga bazis o‘zgaruvchilar, x₄ o‘zgaruvchiga esa ozod o‘zgaruvchi deyiladi. Chunki bu o‘zgaruvchi turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Ozod o‘zgaruvchiga nol qiymat berib, tizimning bazis yechimlari topiladi, ya'ni