1. Darbu yig’indilari va ularning xossalari. Aniq integralning mavjudlik sharti

3-teorema. Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton bo‘lsa, u shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
Isboti. Aniqlik uchun f(x) o‘suvchi funksiya bo‘lsin. Ixtiyoriy >0 son olib, unga ko‘ra >0 sonni quyidagicha aniqlaymiz: .
So‘ngra [a,b] kesmani bo‘ladigan bo‘linishiga mos Darbuning quyi va yuqori yig‘indilarini tuzamiz. U holda
- =

+
bo‘ladi. Demak, funksiya integrallanuvchi bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti - < bajariladi. Bu esa qaralayotgan funksiyaning integrallanuvchi ekanligini bildiradi.
Chegaralangan va kamayuvchi funksiyaning integrallanuvchi ekanligi yuqoridagi kabi isbotlanadi.
Misol. funksiyaning [1,2] kesmada integrallanuvchi ekanligini asoslang.
Yechish. Bu funksiyaning integrallanuvchi ekanligini yuqoridagi teoremalardan foydalanib asoslash mumkin.
Funksiya x=1 nuqtada uzilishga ega, qolgan nuqtalarda esa uzluksiz. 2-teoremaga ko‘ra bu funksiya [1;2] da integrallanuvchi bo‘ladi.
Shuningdek, berilgan funksiya [a;b] da kamayuvchi. Shuning uchun ushbu funksiya 3-teoremaning hamma shartlarini qanoatlantiradi va integrallanuvchi bo‘ladi.
1-izoh. Integrallanuvchi funksiyalar sinflarining soni faqatgina chegaralangan uzluksiz, chegaralangan va chekli sondagina uzilish nuqtalariga ega bo‘lgan hamda chegaralangan va monoton bo‘lgan funksiyalar sinflari bilan cheklanib qolmaydi. Uzilish nuqtalari sanoqli to‘plamni (hadlari takrorlanmaydigan ketma-ketlikni) tashkil etadigan chegaralangan funksiyalar sinfi ham kesmada integrallanuvchi bo‘lishini ko‘rsatish mumkin.
2-izoh. Agar a=b bo‘lsa, ta’rifga ko‘ra har qanday funksiya uchun ushbu tenglik o‘rinli deb faraz qilamiz.
Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   Toshmetov O’., Turgunbayev R., Saydamatov E., Madirimov M. Matematik analiz I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -312-317 bb.
   
2. 
   Claudia Canuto, Anita Tabacco Mathematical analysis. I. Springer-Verlag. Italia, Milan. 2008.- 325-328p.
   
3. 
   Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. I T.:«Voris-nashriyot». 2010 y. b.
   

1^ C.Canuto, A.Tabacco mathematical analysis I 2008 -320page