1. Formulalar. Teng kuchli formulalar. Aynan chin, aynan yolg‘on va bajariluvchi formulalar

Asosiy teng kuchliliklar. Teng kuchli formulalarga doir teoremalar.
Asosiy teng kuchliliklar. Bu paragrafda oddiy algebrada ma’lum bo‘lgan ayrim ayniyatlarga o‘xshash mantiqiy teng kuchliliklarini va teng kuchli formulalarga doir ayrim teoremalarni keltiramiz.
Ma’lumki, haqiqiy sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amali uchun quyidagi tasdiqlar o‘rinlidir:
1) ixtiyoriy ikkita x R va y  R sonlar uchun x  y  y  x bo‘ladi (qo‘shishning kommutativlik qonuni);
2) ixtiyoriy uchta x R , y  R va z  R sonlar uchun (x  y)  z  x  ( y  z) bo‘ladi (qo‘shishning assotsiativlik qonuni);
3) ixtiyoriy ikkita x R va y  R sonlar uchun xy  yx bo‘ladi (ko‘paytirishning kommutativlik qonuni);
4) ixtiyoriy uchta x R , y  R va z  R sonlar uchun (xy)z  x (yz) bo‘ladi (ko‘paytirishning assotsiativlik qonuni);
5) ixtiyoriy uchta x R , y  R va z  R sonlar uchun x( y  z)  xy  xz bo‘ladi (ko‘paytirishning yig‘indiga nisbatan distributivlik qonuni).
Mulohazalar algebrasida bu ayniyatlarga o‘xshash, ixtiyoriy mantiqiy x , y va z o‘zgaruvchilar uchun quyidagi teng kuchliliklar o‘rinlidir:
x  y  y  x , (1)
(x  y) z  x  ( y  z), (2)
x  y  y  x , (3)
(x  y)  z  x  ( y  z), (4)
x  (y  z)  (x  y) (x  z) . (5)

Bu teng kuchliliklarning to‘g‘riligini tekshirish uchun chinlik jadvalidan foydalanish mumkin.

Yuqoridagi (1) – (4) teng kuchliliklarning to‘g‘riligini tekshirishni o‘quvchiga havola qilib, faqat (5) teng kuchlilikning to‘g‘riligini tasdiqlaydigan chinlik jadvalini keltirish bilan kifoyalanamiz . (1) – (4) teng kuchliliklardan ko‘rinib turibdiki, diz’yunksiya va kon’yunksiya mantiqiy amallari, oddiy algebradagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari kabi, kommutativlik va assotsiativlik xossalariga egadir.
Mulohazalar algebrasida, oddiy algebradan farqli o‘laroq, kon’yunksiyaning diz’yunksiyaga nisbatan distributivlik xossasi ((5) teng kuchlilik) bilan bir qatorda diz’yunksiyaning kon’yunksiyaga nisbatan distributivlik xossasi ham o‘rinlidir. Diz’yunksiyaning kon’yunksiyaga nisbatan distributivlik xossasini ifodalovchi
x  (y  z)  (x  y)  (x  z) (6)
teng kuchlilikning to‘g‘riligini 2- chinlik jadvali tasdiqlaydi.
Shuni ta’kidlash kerakki, oddiy algebrada (6) teng kuchlilikka o‘xshash tenglik ayniyat bo‘lmaydi, ya’ni
x  yz  (x  y)(x  z)
tenglik ixtiyoriy x R , y  R va z  R sonlar uchun bajarilmasligi mumkin.

Teng kuchli formulalarga doir teoremalar. Endi teng kuchli formulalarga doir ayrim teoremalarni keltiramiz.

1-t e o r e m a . A va B formulalar teng kuchli bo‘lishi uchun A va B formulalar teng kuchli bo‘lishi zarur va yetarli.
I s b o t i . Berilgan A va B formulalar uchun A  B bo‘lsin. U holda A va B formulalar chinlik jadvalining ixtiyoriy satrida bu formulalarning qiymatlari bir xil bo‘ladi. Shuning uchun A va B formulalar chinlik jadvalining ixtiyoriy satrida ularning qiymatlari ham bir xildir. Demak, A  B . Xuddi shunga o‘xshash, A  B teng kuchlilikdan A  B teng kuchlilik kelib chiqishini ko‘rsatish mumkin. ■
2-t e o r e m a . A va B formulalar teng kuchli bo‘lishi uchun A  B formula tavtologiya bo‘lishi zarur va yetarli.
I s b o t i . 1. Berilgan A va B formulalar uchun A  B bo‘lsin. U holda ekvivalensiya ta’rifiga asosan, A  B formula chinlik jadvalining barcha satrlaridagi qiymatlari ch bo‘ladi. Demak, A  B formula tavtologiyani ifodalaydi.
2. A  B formula tavtologiya bo‘lsin. U holda A  B formula chinlik jadvalining A  B ustunidagi barcha qiymatlar ch bo‘ladi. Bundan, ekvivalensiya ta’rifiga ko‘ra, chinlik jadvalining har bir satridagi A va B formulalarga mos qiymatlar bir xil, ya’ni A  B teng kuchlilik o‘rinliligi kelib chiqadi. ■
2- m i s o l . De Morgan qonunlari va 2- teoremaga ko‘ra x  y  x  y va x  y  x  y formulalarning har biri tavtologiyadir. ■
3- t e o r e m a . Berilgan A va B formulalar uchun A  B formula tavtologiya bo‘lishi uchun A  B formula tavtologiya bo‘lishi zarur va yetarli.
I s b o t i . 1. Berilgan A va B formulalar uchun A  B formula tavtologiya bo‘lsin. U holda, 2- teoremaga asosan, A  B bo‘ladi. Bundan, 1- teoremaga asosan, A  B teng ruchlilik kelib chiqadi. Demak, ekvivalensiyaning ta’rifiga asosan, A  B aynan tavtologiyadir. 2. Berilgan A va B formulalar uchun A  B tavtologiya bo‘lsin. Bundan A  B kelib chiqadi va, o‘z navbatida, A  B bo‘ladi. Demak, A  B formula tavtologiyadir. ■
4-t e o r e m a . Ixtiyoriy formulaning istalgan qismi o‘rniga shu qismi bilan teng kuchli boshqa formulani qo‘yishdan hosil bo‘lgan yangi formula dastlabki formula bilan teng kuchlidir.
3- m i s o l . x  y  z formula berilgan bo‘lsin. Bu formula tarkibidagi x  y qismi o‘rniga unga teng kuchli bo‘lgan x  y formulani qo‘yish natijasida x  y  z formula hosil bo‘ladi. Bu formulaga (7), (8) va (10) teng kuchliliklarni qo‘llab, berilgan formulaga teng kuchli x  y  z formulani hosil qilish mumkin. Berilgan va oxirgi formulalarning teng kuchliligini chinlik jadvali vositasida ham ko‘rsatish mumkin.