1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv



Yüklə 0,95 Mb.
səhifə2/24
tarix02.05.2023
ölçüsü0,95 Mb.
#106111
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24
1-ma’ruza Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

umumiy yechimi deyiladi yoki
TA’RIF 4: Agar



munosabatlardan c parametrni yo’qotish mumkin bo’lib, natijada (2)
tenglama hosil bo’lsa, u holda (3) funksiya (2) tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.
TA’RIF 5: Umumiy (3) yechimdan c parametrni aniq sonli qiymatlari uchun hosil bo’lgan yechimi xususiy yechim deb ataladi.
Yuqorida keltirilgan 1 va 2 masalalardagi (t0, x0), (t0,R0) nuqtalardan o’tuvchi yechimlarni yagonaligi muhim ahamiyatga ega, shuning uchun berilgan (t0 ,x 0) nuqtadan bitta yechim o’tsa shu nuqtada yagonalik o’rinli deb yuritiladi.
TA’RIF 6: Yagonalik o’rinli bo’lmagan yechim maxsus yechim deyiladi.

MISOL 3: Tenglamani yeching



Bu yerda y0 deb olib yoki
tenglikka ega bo’lamiz. Bundan yoki umumiy yechimga ega bo’lamiz.
Bundan tashqari y0 ham tenglamaning yechimi, bu maxsus yechim bo’ladi.
y=0 ni , ya’ni OX o’qini ixtiyoriy nuqtasidan

yarim parabolar o’tadi.
Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalalardan biri Koshi masalasi deb yuritiladi.
(4)
ko’rinishidagi tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha qo’yiladi.
Koshi masalasi : (1) tenglamaning
y(x0)=y0 (5)
shartni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi yoki boshlang’ich masala deb yuritiladi.
Bunda x0 va y0 berilgan sonlar bo’lib f(x,y) funksiya aniqlangan sohaga tegishli bo’ladi. (4) tenglamaning yechimi bo’lgan y=(x) yoki oshkormas ko’rinishda (x,y) funksiyani mos egri chizig’i (grafigi) integral chiziq deb ataladi. Koshi masalasi, geometrik nuqtaiy-nazardan qaraganda barcha integral chiziqlar ichidan berilgan (x0,y0) nuqtadan o’tuvchi integral chiziqni topish masalasidir.
MISOL: 1. Koshi masalasining yechimi mavjudmi?

ko’rish mumkinki bu Koshi masalasini yechimi mavjud emas.
Demak, Koshi masalasi har doim ham yechimiga ega emas, agar yechim mavjud bo’lsa u yagona bo’ladimi? kabi savol berilishi tabiiy. Yechimining yagonaligi differensial tenglamalar olingan jarayonlarda biror qonun mavjud bo’lib boshqa qonun yo’qligini, xarakat yoki jarayon faqat shu qonun orqali amalga oshishini bildiradi.
MISOL: Quyidagi Koshi masalasining yechimiga yaqinlashuvchi yechimning birinchi uchta hadini toping.

Bunda

n=0 da y=0
n=1 da
n=2 da
Demak, .
Bu yechim teorema shartiga ko’ra faqat x=0 nuqtaning biror atrofida mavjud bo’ladi. f(x,y) funksiya butun (x,y) tekislikda aniqlangan va uzluksiz bo’lganligi uchun ixtiyoriy D={(x,y): x0-axx0+a, y0-byy0+b} sohani, ya’ni a va b ni olish mumkin.
Unda bo’ladi.
Yechim esa intervalda mavjud va yagona bo’ladi.
Hosila ga nisbatan yechilgan differensial tenglamalarda, agar
f(x,y)=f1(x)d1(y)
ko’rinishdagi funksiya bo’lsa, u holda tenglama
(6)
ko’rinishga ega bo’ladi. Bunda f1(x) biror J1 intervalda d1(y) esa J2 intervalda aniqlangan funksiyalardir.
(1) ko’rinishdagi differensial tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi.
TEOREMA: Agar axb, cyd o’zgarganda f1(x)d1(y) funksiya uzluksiz, hamda d1(y)0 bo’lsa, u holda q={(x,y): axb, cyd} to’g’ri to’rtburchak sohani ixtiyoriy (x0,y0) nuqtasidan tenglamani bitta va faqat bitta grafigi o’tadi.
ekanligidan foydalanib, (6) tenglamani

ko’rinishda yozib olamiz. So’ngra integrallab K1(y)-F1(x)=C yoki F(x,y)=C ko’rinishdagi umumiy integral topiladi.
MISOL: Tenglamani yeching
bo’lib y0 ydy= - xdx
ko’rinishda o’zgaruvchilarni ajratamiz va integrallaymiz, u holda yoki ko’rinishdagi umumiy integralga ega bo’lamiz.
O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar ushbu ko’rinishda ham bo’lishi mumkin.
M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0 (7)
bu ko’rinishdagi tenglamani ham (6) ko’rinishga keltiramiz, ya’ni

Agar belgilash kiritsak, (7) tenglama (6) ko’rinishni oladi. Uni yuqorida ko’rilgan usulda yechimini topish mumkin.



Yüklə 0,95 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin