1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Chiziqli tenglama xossalari

1.Chiziqli tenglamada x argumentni ixtiyoriy
x=(t)
almashtirilganda ham, o’z ko’rinishini (ya’ni chiziqliligini) o’zgartirmaydi.
2. Chiziqli tenglamada y noma’lum funksiya ixtiyoriy
y=a(x)z+b(x)
chiziqli almashtirilganda ham o’z ko’rinishini (ya’ni chiziqliligini) o’zgartirmaydi.
Bir jinsli (2) tenglamaning umumiy yechimini izlanish uchun uni quyidagicha yozib olamiz.
dy=-y’(x)dx tenglikdan
, buni integrallab
(3)
ko’rinishdagi yechimini olamiz, bunda

s=const

(3) ko’rinishidagi yechim ushbu xossalarga ega.
1. Agar y₁ (2) tenglamaning xususiy yechimi bo’lsa, u holda
+p(x)y0 (4)
ayniyat o’rinli hamda
y=cy₁ (5)
funksiya ham uning yechimi bo’ladi.
ISBOT: y=cy₁ funksiyani (2) tenglamaga qo’yamiz
+p(x)(cy₁)=s( +p(x)y₁)
(4) tenglikka ko’ra yuqoridagining o’ng tomoni nolga teng , ya’ni
s( +p(x)y₁)=0
Demak, (5) ko’rinishdagi funksiya tenglamaning yechimi.
2. Agar y₁ (2) ni noldan farqli xususiy yechimi bo’lsa, u holda (5) ko’rinishdagi funksiya (2) ning umumiy yechimi bo’ladi.
Mavzu davomida bir jinsli bo’lmagan tenglama uchun o’zgarmasni variatsiyalash usuli bilan tanishamiz. Bu usul ba’zan Lagranj usuli deb yuritiladi.
(1) tenglamaning yechimini (3) ko’rinishida qidiramiz, ya’ni
(6)
bunda, c o’zgarmasni o’rniga, c=c(x) uzluksiz differensiallanuvchi funksiya deb, (6)dan hosila olamiz
(7)
(6) va (7) ni (1) tenglamaga qo’yamiz.
,
bundan

yoki

tenglikka ega bo’lamiz.
So’nggi tenglikni integrallab,

Bu ko’rinishdagi c(x) funksiya qiymatini (6)ga qo’ysak,
(8)
ko’rinishdagi (1) tenglamaning umumiy yechimini topamiz.
(8)ni yoyib yozsak
(9)
ko’rinishga keladi. Buning birinchi hadi (1) tenglamani biror xususiy yechimini bildirsa, ikkinchi qo’shiluvchi (2) tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.
ESLATMA: 1. Yuqoridagi (3) va (9) formulalardagi integralni x₀ dan x gacha aniq integralga almashtirish mumkin, bunda x₀(a,b),
ya’ni

Agar y(x₀)=y₀ boshlang’ich shart berilsa , u holda
(10)
Koshi ko’rinishidagi umumiy yechimga ega bo’lamiz.
ESLATMA: 2. Agar P(x) va f (x) funksiyalar () intervalda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u holda ixtiyoriy x₀,y_0­ boshlang’ich shart bilan aniqlangan yechim ham uzluksiz va uzluksiz differensiallanuvchi bo’ladi, ya’ni (10) formula aniqlagan integral egri chiziq () intervalda silliq bo’ladi.