1 Mavczu;Geron formulasining isbotlari

@toshniyozosarov Geometriya Toshniyoz O’sarov

1 Mavczu;Geron formulasining isbotlari
1.Geron formulasining oddiy isboti.
Uchburchakning yuzi:
S= Bu yerdan sinC ni topamiz:

S-?
B
c a sin²C=
a²-2abcosC+b²=c² , cosC= , sinC=
A b C

sinC= = =

Demak,sinC quyidagi ifodaga teng ekan:

Uchburchakning yuzi formulasidagi sinC ni o’rniga yuqoridagi ifodani qo’yamiz va ½absinC ildiz ichiga kiritamiz:
S= sinC= = =
= = .
Hisoblash va soddalashtirishlardan so’ng biz yuqoridagi formulaga ega bo’lamiz .
2.Tangenslar yigindisi orqali.
Bizga avval quyidagi ayniyatni isbotlaymiz :

ya’ni tangenslar yig’indisi va ko’paytmasiga teng.
Isbot. .



(2)

=

Demak quyidagi tenglik o’rinli:

End iyuqoridagi tenglik orqali geron formulasining ikkinchi isbotini keltiramiz.

A p=P/2 , p=

c b
C^’ B^’
B A^’ C

1. 
   p-a=
   
2. 
   p-b=
   
3. 
   p-c -c .
   

^{S=ar/2+br/2+cr/2=pr}
, ,

+ =

pr²=

S=

3.Bu isbot uchburchakning uchlarining koordinatalari berilganda o’rinli va ishlatish qulay bo’ladi.
Bizga ABC uchburchakning A ( a₁;a₂),B(b₁;b₂),C(c₁;c₂) uchlarining koordinatalari berilgan bo’lsin.
C burchakni orqali belgilaymiz.



S-?
B
c a

A b C

, A ( a₁;a₂),B(b₁;b₂),C(c₁;c₂) S=

BC²+AC²-2ACBC*cosC=AB²

, =
=

Uchburchakning yuzi S=
Endi ushbu formulaga ni qo’yamiz
S= =
=

=
= =
= = =
= =
Endi uchburchak tomonlari (AB,BC,AC)ning o‘rniga koordinatalari (A( a₁;a₂),B(b₁;b₂),C(c₁;c₂)) ni qo’yamiz.


*

*

=
= = .
Demak ,
S= *
*

*

.

3ta isbot.

]\