1-mavzu: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini

CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI TAQRIBIY YECHISH USULLARI VA ULARNI KOMPYUTERDA BAJARISH
REJA:

1. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi
   
2. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari
   
3. 
   Tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari va ularni kompyuterda bajarish
   

Nazariy va tadbiqiy matematikaning ko‘pgina masalalari birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Masalan, funksiyaning n-ta nuqtada berilgan qiymatlari yordamida n-tartibli ko‘phad bilan interpolyatsiyalash yoki funksiyani o‘rta kvadratlar usuli yordamida yaqinlashtirish masalalari birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi.

Birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilishning manbai uzluksiz funksional tenglamalarni chekli ayirmali tenglamalar bilan yaqinlashtirishdir.
Birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini yechish asosan ikki usulga, ya’ni aniq va iteratsion usullarga bo‘linadi.
Aniq usul deganda chekli miqdordagi arifmetik amallarni aniq bajarish natijasida masalaning aniq yechimini topish tushuniladi.
Iteratsion usullarda chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi ketmaket yaqinlashishlarning limiti sifatida topiladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish orqali aniqlash usuli, ya’ni Gauss usulini ko‘rib chiqamiz.
Bu usul bir necha hisoblash yo‘llariga ega. Shulardan biri Gaussning kompleks yo‘lidir.
Ushbu sistema berilgan bo‘lsin

Faraz qilaylik, a₁₁≠0 (etakchi element) bo‘lsin, aks holda tenglamalarning o‘rinlarini almashtirib, x₁ oldidagi koeffisienti noldan farqli bo‘lgan tenglamani birinchi o‘ringa ko‘chiramiz.
Sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisientlarini a₁₁ ga bo‘lib,
х1 +b12(1) x2 +...+b1(n1) xn =b1(,1n)+1 (2)
ni hosil qilamiz, bu yerda

a12 =b12(1),. . . , aa111n =b1(n1), aa1,11n+1 =b1(,1n)+1 a11
yoki qisqacha b₁⁽¹_j⁾ = ^a_a¹11^j (j ≥ 2).
(2) tenglamadan foydalanib, (1) sistemaning qolgan tenglamalarida x₁ ni yo‘qotish mumkin. Buning uchun (2) tenglamani ketma-ket a₂₁, a₃₁, … larga ko‘paytirib, mos ravishda sistemaning ikkinchi, uchinchi va h.k. tenglamalaridan ayiramiz. Natijada, quyidagi sistema hosil bo‘ladi.

bu yerda a_ij⁽¹⁾ koeffisientlar
aij(1) =aij −ai1b1(1j) ,(i, j ≥ 2)
formula yordamida hisoblanadi.
Endi (3) sistema ustida ham shunga o‘xshash almashtirishlar bajaramiz. Buning uchun (3) sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisientlarini yetakchi element a₂₂⁽¹⁾ ≠0 ga bo‘lib,
x2 +b23(2) x3 +...+b2(2n) xn = b2(,2n)+1 (4)
ni hosil qilamiz, bu yerda
(2) a
b2 j =a₂₂(1) ( j ≥3)
(4) tenglama yordamida (3) sistemaning keyingi tenglamalarida yuqoridagidek x₂ ni yo‘qotib,

sistemaga kelamiz, bu yerda

aij(2) =aij(1) −ai(21)b2(2j), (i, j ≥ 2)
Noma’lumlarni yo‘qotish jarayoni davom ettirilib, bu jarayonni m–qadamgacha bajarish mumkin deb faraz qilamiz va m – qadamda quyidagi sistemaga ega bo‘lamiz.
bu yerda
a (m)
(m) mj , a(m)
bmj = a_mm(m) ij =aij(m−1) −aim(m−1)bmj(m) (i, j ≥ m +1) .
Faraz qilaylik, m mumkin bo‘lgan oxirgi qadamning nomeri bo‘lsin. Ikki hol bo‘lishi mumkin: m=n yoki m. Agar m=n uchburchak matritsali va (1) sistemaga ekvivalent bo‘lgan quyidagi
sistemaga ega bo‘lamiz. Oxirgi sistemadan ketma-ket x_n, x_n−1,..., x₁ larni topish mumkin
(6) uchburchak sistemasining koeffisientlarini topish Gauss usulining to‘g‘ri yurishi, (7) sistemadan yechimini topish Gauss usulining teskari yurishi deyiladi.