1-mavzu. Kirish. Xatoliklar nazariyasi Reja

8 – misol. Agar 2.768 sonidagi barcha raqamlar ishonchli bo‘lsa, uning absolyut xatoligining chegarasi uchun nima olinishi mumkin?
Echish. Berilgan taqribiy sonning barcha raqamlari ishonchli bo‘lganidan uning oxirgi raqam razryadining yarmiga bog‘liq ravishda xatolik chegarasi aniqlanadi. Oxirgi raqam razryad birligi: 0.001. SHuning uchun 0.0005 sondan katta bo‘lmagan har qanday son berilgan 2.768 taqribiy soni uchun absolyut xatolik chegarasi bo‘la oladi.

Yaxlitlash qoidasi

Ko‘pgina hollarda berilgan taqribiy sonlarni yaxlitlashga to‘g‘ri keladi, yahni uni ishonchli raqamlar soni kam bo‘lgan taqribiy son bilan almashtirishga to‘g‘ri keladi. Bunda yaxlitlash xatoligi minimal bo‘lishiga harakat qilinadi.

Berilgan taqribiy sonlarni yaxlitlash qoidasi quyidagicha. Sonni n ta qiymatli raqamgacha yaxlitlash uchun, n – qiymatli raqamdan keyingi barcha raqamlar tashlab yuboriladi yoki agar kerak bo‘lsa, ular nollar bilan almashtiriladi. Bunda:
1) agar tashlab yuborilgan raqamlarning birinchisi 5 dan kichik bo‘lsa, u holda qolgan o‘nli belgilar o‘zgarishsiz qoldiriladi;
2) agar tashlab yuborilayotgan raqamlarning birinchisi 5 dan katta bo‘lsa, u holda qolgan raqamlarning oxirgisiga 1 qo‘shiladi;
3) agar tashlab yuborilayotgan raqamlarning birinchisi 5 ga teng bo‘lsa, u holda undan keyingi tashlanayotgan raqamlarga ehtibor qilinadi, yahni ulardan birortasi noldan farqli bo‘lsa, qolgan oxirgi raqamga bir qo‘shiladi; agar barchasi nollardan iborat bo‘lsa, qolayotgan oxirgi raqamga qarab, juft bo‘lsa o‘zgarishsiz qoldiriladi, toq bo‘lsa unga 1 qo‘shiladi.
9-misol.   3.1415926535… taqribiy sonni uchta qiymatli raqamgacha yaxlitlang.
Echish. 3.1415926535  3.14.


5. Amal xatoliklari
Yuqorida biz sonlarni yaxlitlashda hosil bo‘ladigan xatoliklar va ularni baholash haqida to‘xtadik. Bunday xatoliklar turli arifmetik amallar natijalarini tahlil qilinayotganda hisobga olinishi kerak. SHuning uchun taqribiy sonlar ustida turli amallarni bajarganda, xatolikning qanday tarqalishi muhim ahamiyat kasb etadi. Quyida shular haqida to‘xtalamiz.
1–teorema. Taqribiy sonlar algebraik yig‘indisining absolyut xatoligi, shu sonlarning absolyut xatoliklari yig‘indisidan katta emas.
Isbot. Berilgan taqribiy sonlar x₁, x₂, ….., x_n lardan iborat bo‘lsin. Ularning algebraik yig‘indisini ko‘raylik:
u = x₁  x₂  …  x_n.
Ravshanki,
u = x₁x₂…x_n,
bundan
u  x₁+x₂+…+x_n. (1.3)


Teorema isbot qilindi. Taqribiy sonlarning algebraik yig‘indisining chegaraviy absolyut xatoligi uchun
h_u = h_x1 + h_x2 + …. + h_xn. (1. 4)
ni olish mumkin.
Ayirmaning xatoligi. Ikki x₁ va x₂ taqribiy sonning u=x₁–x₂ ayirmasini ko‘raylik. Yuqorida ko‘rilgan yig‘indining chegaraviy absolyut xatoligi formulasi (1.4) ga ko‘ra, ayirmaning chegaraviy absolyut xatoligi
(1. 5)
kabi bo‘ladi, yahni ayirmaning chegaraviy absolyut xatoligi ayiriluvchi va ayiruvchilarning chegaraviy absolyut xatoliklari yig‘indisiga teng.
Bu yerda ayirma nisbiy xatolining chegarasi uchun
(1.6)
ni olish mumkin. Formuladan ko‘rinib turibdiki, agar x₁ va x₂ sonlar yaqin joylashgan bo‘lsa, xatoliklar juda kichik bo‘lsa ham chegaraviy nisbiy xatolik yetarlicha katta bo‘lishi mumkin.