1-topshiriq: d moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalarini integrallash. Masala

1-topshiriq: D.1. MODDIY NUQTANING HARAKAT DIFFERENSIAL TENGLAMALARINI INTEGRALLASH.
Masala. Qoyaning temir yul o‘tgan o‘ymalarida kyuvetlarni ularga nishabliklardan tosh kuchkilarining tushishidan himoya qilish uchun DC "supa" qilinadi.
Toshning nishablikning eng yuqori nuqtasi A dan tushishi mumkinligini e’tiborga olib va bunda uning boshlang‘ich tezligini ₀=0 deb hisoblab, supaning eng kichik eni b va unga toshning tushish tezligi _s aniqlansin. Tosh nishablikning gorizont bilan α burchak tashkil qiluvchi va uzunligi l bo‘lgan AB kismi bo‘ylab s. davomida harakat qiladi.
Masalani yyyechishda toshning AB qismdagi sirpanish ishqalanish koeffitsienti f o‘zgarmas, deb xisoblansin, xavoning q,arshiligi esa e’tiborga olinmasin.
Berilgan: _a =0; α =60°; l =4 m; =1 s; f , h =5 m; = 75°. b va _s aniqlansin.
Yechimi. AB qismda toshning harakatini ko‘rib chiqamiz. Toshni moddiy nuqta deb olib, unga ta’sir qiluvchi kuchlarni ko‘rsatamiz (1-chizma), og‘irlik kuchi , normal reaksiya kuchi va sirpa­nish ishqalanish kuchi . Toshning AV qismdagi harakat diffe­rensial tenglamasini tuzamiz:

Ishqalanish kuchi
F=f N
Bu yyerda
N=G cos α.
Shunday qilib,

Differensial tenglamani ikki marta integrallab, quyidagilarni olamiz.
yoki


Integrallashning o‘zgarmas ifodalarinn aniqdash uchun masalaning boshlang‘ich shartlaridan foydalanamiz:
t=0 da x₁=0,
Bu boshlang‘ich shartlarni yuqorida integrallab topilgan tenglamalarga qo‘yib, o‘zgarmaslar uchun quyidagi qiymatlarni olamiz:



Tosh AB qismini tark etgan on uchun

ya’ni


by yerdan
ya’ni m/s.
Toshniig B nuqtadan S nuqtagacha bo‘lgan harakatini qaraymiz. Toshga ta’sir qiluvchi og‘irlik kuchi G ni ko‘rsatib, uning Harakat differensial tenglamalarini tuzamiz:
.
Masalaniig boshlang‘ich shartlari:
t=0 da x=0, y=0;

Differensial tenglamalarni ikki marta integrallaymiz:


Bu yerga boshlang‘ach shartlarni qo‘yib, quyidagilarni topamiz:

C₅=0. C₆=0.
Toshning tezliklari proeksiyalarining quyidagi tenglamalarini:

va uning harakat tenglamalarini:
olamiz.
Tosh traektoriyasining tenglamasini harakat tenglamalaridan t parametrni yo‘qotib topamiz. Birinchi tenglamadan t ni aniqlab va uning qiymatini ikkinchisiga qyyib, parabolaning teng­lamasini xosil qilamiz.

Toshning tushish onida u=h, x=d. bo‘ladi, unda traektoriyaning tenglamasidan ushbu qiymatlarni topamiz:
d= 2,11m; d₂=-7,75m.
T toshning harakat traektoriyasi parabolaning musbat abssissali nuqtalar tarmog‘i bo‘lgani uchun d=2,11 m.
Supaning minimal eni b=d- ED=d-h/tg75° yoki b=0,77 m.
Toshning harakat tenglamasi dan foydalanib, uning B nuqtadan S nuqtagacha bo‘lgan harakat vaqti T ni topamiz: T=0, 53 s.
Toshning tushayottandagi tezligini tezlikning koordinata o‘qlariga proeksiyalari

orqali quyidagi formuladan topamiz:
Toshning tushish oni t= T=0,53 s.

yoki v_c=12,8 m/s.

2-topshiriq: D.3. MODDIY NUQTANING TEBRANMA HARAKATIGA DOIR MASALALAR.