1. Variatsiyaning xossalari

Ta’rif. Agar funksiyaga yaqin bo’lgan barcha funksiyalar uchun tengsizlik bajarilsa funksional egri chiziq ustiga maksimumga erishadi deyiladi.
Agar funksiyaga yaqin bo’lgan barcha funksiyalar uchun tengsizlik bajarilsa funksional egri chiziq ustiga qattiy maksimumga erishadi deyiladi.
Agar funksiyaga yaqin bo’lgan barcha funksiyalar uchun tengsizlik bajarilsa funksional egri chiziq ustiga minimumga erishadi deyiladi.
Agar funksiyaga yaqin bo’lgan barcha funksiyalar uchun tengsizlik bajarilsa funksional egri chiziq ustiga qattiy minimumga erishadi deyiladi.
funksional egri chiziq ustiga maksimumga yoki minimumga erishsa, u holda funksional bu egri chiziq ustida ekstremumga erishadi deyiladi.

Teorema. Agar to’plamda differensiallanuvchi funksiya to’plamning ichki nuqtasida ekstremumga erishsa, u holda bu nuqtada bo’ladi

Teorema. Agar variatsiayaga ega bo’lgan funksional egri chiziq ustiga ekstremumga erishsa va funksia funksional aniqlangan sohaning ichki nuqtasi bo’lsa, u holda bu chiziq ustida bo’ladi

Funksionallar uchun teoremaning isboti. Fiksirlanga va larda funksional ning funksiyasidan iborat bo’lib, teorema shartiga ko’ra nuqtada ekstremumga erishadi. O’z navbatida bundan yoki

kelib chiqadi. Demak funksionalning egri chiziq ustigagi variasiasi 0 ga teng. Teorema isbotlandi.
Funksionalning ekstremumi tushunchasini yanada aniqlashtirish zarur. Funksional maksimumi va minimumi haqida so’z borganda fuksionla qiymatin bir-biriga yaqin egri chiziqlar ustidagi qiymatlari nazarda tutiladi. Ammo, yuqorida ko’rdikki egri chiziqlarni yaqinligi tushunchasi turlicha ko’rinishga ega.
Agar ayimaning moduli kichik bo’lganda, ya’ni ga nolinchi tartibli yaqin funksiyalar orasida funksional funksiya ustida maksimumga (minimumga) erishsa, u holda funksional kuchli maksimuga (minimumga) erishadi deymiz.
Agar va ayimalarning moduli kichik bo’lganda, ya’ni ga birinchi tartibli yaqin funksiyalar orasida funksional funksiya ustida maksimumga (minimumga) erishsa, u holda funksional kuchsiz maksimuga (minimumga) erishadi deymiz.
Tabiiyki, agar funksional funksiya ustida kuchli maksimumga (mimimumga) erishsa, u holda bu funksiya ustida kuchsiz maksimumga (minimumga) ham erishadi. Biroq, funksional funksiya ustida kuchsiz ekstremumga erishib, kuchli ekstremumga erishmasligi mumkin.
Keyingi mulohazalarimiz uchun zarur bo’ladigan quyidagi lemmani keltirib o’tamiz.