10. Funksional qator yig’ndisining uzluksizligi. Faraz qilaylik, to’plamda
(1)
funksional qator berilgan bo’lib, uning yig’ndisi bo’lsin.
1-teorema. Aytaylik, (1) qator ushbu shartlarni bajarsin:
1) qatorning har bir hadi to’plamda uzluksiz,
2) qator da tekis yaqinlashuvchi. U holda funksional qatorning yig’ndisi funkstiya to’plamda uzluksiz bo’ladi.
◄ Aytaylik, ,
bo’lsin. Teoremaning 2) – shartiga ko’ra
bo’ladi. Ta’rifga binoan
va da
(2)
jumladan
(3)
tengsizliklar bajariladi.
Ravshanki, (2) va (3) tengsizliklar ning dan katta biror tayin qiymatida ham o’rinli bo’ladi:
, ( )
. ( )
Teoremaning 1) shartidan va chekli sondagi uzluksiz funkstiyalar yig’ndisi yana uzluksiz bo’lishidan
funkstiyaning to’plamda uzluksiz ekanligi kelib chiqadi. Demak, funkstiya da uzluksiz. Unda, ta’rifga binoan
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha da
(4)
bo’ladi.
Yuqoridagi ( ), ( ) va (4) tengsizliklardan foydalanib topamiz:
Bu esa funkstiyaning nuqtada uzluksiz bo’lishini bildiradi. Modomiyki, nuqta to’plamning ixtiyoriy nuqtasi ekan, funkstiya to’plamda uzluksiz bo’ladi.►
Yuqorida keltirilgan teoremaning shartlari bajaril-ganda uning tasdig’ni quyidagicha
