10. Qatorning absolyut va shartli yaqinlashuvchiligi

5—maruza. Yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari

Biz ushbu paragrafda yaqinlashuvchi qatorlarda hadlarni guruhlash , absolyut yaqinlashuvchi qatorlarda esa hadlarning o’rnini almashtirish kabi xossalarga to’xtalamiz.

1⁰. Guruhlash xossasi. Biror qator berilgan bo’lsin. Bu qator hadlarini guruhlab, quyidagi qatorni tuzamiz:

bunda lar natural sonlar ketma—ketligining biror qismiy ketma–ketligi bo’lib, da .
Agar qator yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi songa teng bo’lsa , u holda bu qatorning hadlarini guruhlashdan hosil bo’lgan qator ham yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ham songa teng bo’ladi .
◄ Ta’rifga ko’ra berilgan qatorning qismiy yig’indisi uchun ( —chekli son ) limit o’rinli. Endi qatorning —qismiy yig’indisini yozamiz:
.
Bu qismiy yig’indilardan tuzilgan

ketma—ketlikni qaraylik. Ravshanki, bu ketma—ketlikning qismiy ketma—ketligidir. U holda 3—bobdagi 12—teoremaga ko’ra ketma—ketlik yaqin-lashuvchi va uning limiti ham ga teng bo’ladi.

Bu esa qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi va uning yig’indisi ga
teng ekanligini bildiradi. ►
2⁰. O’rin almashtirish xossasi. Ixtiyoriy qator berilgan bo’lsin. Bu qator hadlarining o’rinlarini almashtirib, quyidagi

qatorni hosil qilamiz. Bu qatorning har bir hadi qator-ning tayin bir hadining aynan o’zidir.
Agar qator absolyut yaqinlashuvchi bo’lib, yig’indisi songa teng bo’lsa, u holda bu qator hadlarining o’rinlarini ixtiyoriy ravishda almashtirishdan hosil bo’lgan qator yaqinlashuvchi bo’ladi va uning yig’indisi ham songa teng bo’ladi.
◄ Bu xossani qator musbat hamda ixtiyoriy hadli bo’lgan hollar uchun alohida—alohida isbotlaymiz.
Birinchi hol. Berilgan qator musbat qator bo’lib, u yaqinlashuv-chi va yig’ndisi songa teng bo’lsin. Belgilashlar kiritaylik:

U holda ta’rifga ko’ra bo’lib, o’suvchi ketma—ketlik bo’lganidan barcha larda tengsizlik o’rinli bo’ladi. Maqsadimiz ketma—ketlik ham limitga egaligini ko’rsatish va

tenglikni isbotlshdan iboratdir. Shu sababli ning tuzilishiga qarasak, unda . Agar deb olsak, natijada tengsizlik o’rinli bo’ladi. Shuning uchun tengsizlik ham barcha larda o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, ketma—ketlik o’suvchi va yuqoridan chegaralangan. Demak , u chekli limitga ega:
va .
O’z navbatida qator yaqinlashuvchi va yig’ndisi ga teng bo’lganida berilgan qatorni qator hadlarining o’rinlarini almash-tirishdan hosil bo’lgan qator deb qaraydigan bo’lsak yuqoridagicha muloha-zalarga ko’ra u ham yaqinlashuvchi va yig’ndisi uchun teng-sizlik o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. va lar uchun isbotlangan yuqoridagi ikki tengsizlikka ko’ra bo’ladi.
Demak, yaqinlashuvchi musbat qator hadlarining o’rinlarini almashti-rishdan hosil bo’ladigan har qanday qator yaqinlashuvchi va yig’indisi beril-gan qator yig’indisiga aynan teng bo’lar ekan.
Ikkinchi hol. Berilgan qator ixtiyoriy hadli qator bo’lib, u absol-yut yaqinlashuvchi va yig’indisi ga teng bo’lsin. Bu holda

qator yaqinlashuvchi bo’lgani uchun, birinchi holga ko’ra uning hadlari o’rinlarini almashtirishdan hosil bo’lgan har bir qator yaqinlashuvchi bo’ladi. Shunday qilib berilgan qator hadlarining o’rinlarini almashti-rishdan hosil bo’lgan har bir qator absolyut yaqinlashadi. Endi qatorning yig’indisini aniqlash maqsadida belgilashlar kiritaylik:

U holda

bo’lib natijada qator yaqinlashgani sababli musbat hadli
va
qatorlar ham yaqinlashadi.
Agar
va
deb olsak, u holda tenglikka binoan
,
shuningdek

bo’lib, bu yerda va qatorlar yaqinlashuvchi musbat va qatorlarning hadlari o’rinlarini almashtirishdan hosil bo’lgan qatorlardir. Isbot-langan birinchi holga ko’ra

bo’lib, natijada

ya’ni isbotlanishi talab qilingan tenglikka kelamiz. Shu bilan bu xossaning isboti nihoyasiga yetdi.
Shartli yaqinlashuvchi qatorlar uchun bu xossa o’rinli bo’lmasligi mumkin.
Ma’lumki,

qator yaqinlashadi va yig’indisi ga teng:
.
U holda bu tenglikning ikkala tomonini ga bo’lsak,

bo’ladi. Berilgan va hosil qilingan bu qatorni quyidagicha yozib olaylik:
,

Yaqinlashuvchi bu qatorlarni qo’shsak

bo’lib, tenglikning chap tomonidagi qator berilgan qator hadlarining o’rinlarini almashtirishdan hosil bo’lgan qator bo’lib, yig’indisi esa berilgan qator yig’indisidan farqlidir.
Absolyut yaqinlashuvchi bo’lmagan qatorlar hadlarining o’rinlarini almashtirishdan hosil bo’lgan qatorlar haqida quyidagi teorema o’rinli. Biz bu teoremani isbotsiz keltiramiz.
8—teorema. ( Riman teoremasi). Agar qator shartli yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda har qanday ( chekli yoki cheksiz) olinganda ham berilgan qator hadlarining o’rinlarini shunday almashtirish mumkinki, hosil bo’lgan qatorning yig’indisi huddi shu ga teng bo’ladi.