11-mavzu. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masala. Ekstremum prinsipi. Birinchi chegaraviy masala yechimining yagonaligi

11-mavzu. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masala. Ekstremum prinsipi. Birinchi chegaraviy masala yechimining yagonaligi.

1. Birinchi chegaraviy masala. fazoda ( tekislikda) chegarasi bо‘lgan chekli sohani olamiz. Asosi va yasovchilari о‘qqa parallel bо‘lgan silindrik sirt yasaymiz. Bu sirtning tekisliklar orasida yotgan qismini orqali, ning tekislikdagi proyeksiyasini orqali, fazodagi chegarasi bо‘lgan sohani orqali belgilaymiz.

Agar о‘zgaruvchilarning biror tо‘plamini orqali belgilasak, da о‘zgaruvchilar bо‘yicha tartibgacha, bо‘yicha tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega bо‘lgan funksiyalar sinfini orqali belgilab olamiz.
Birinchi chegaraviy masala quyidagicha qо‘yiladi: sohada (1) tenglamaning sinfga tegishli bо‘lgan
(3)
boshlang‘ich shartni va
(4)
chegaraviy shartni qanoatiruvchi yechimi topilsin.
2. Ekstremum prinsipi. (2) tenglamaning sohadagi sinfga tegishli bо‘lgan yechimi о‘zining maksimum va minimum qiymatlarini da, ya’ni, yoki da, yoki silindrning yon sirtida qabul qiladi.
Agar bu prinsipda kо‘rsatilgan funksiya biror nuqtada maksimumga erishsa, u holda shu nuqtada funksiya minimumga erishadi. Shu tufayli ekstremum prinsipini maksimum hol uchun isbotlash bilan chegaralanamiz.
Ushbu

belgilashlarni kiritamiz. Ravshanki Maksimum prinsipi ekanligini kо‘rsatishdan iborat.
Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni bо‘lsin.
Bu holda funksiya da uzluksiz bо‘lgani uchun maksimum qiymatga yoki da yotuvchi biror nuqtada erishadi, ya’ni

Yordamchi

funksiyani tekshiramiz.
Agar bо‘lsa, bо‘ladi. Bunga asosan

Ikkinchi tomondan,

Demak, dan tashqarida shunday nuqta borki, bunda funksiya dan kichik. Bundan funksiya da maksimumga yoki da erishishi kelib chiqadi.
funksiya maksimumga erishgan nuqtani orqali belgilaymiz. Avvalo bо‘lsin. Bu nuqtada maksimumning zaruriy

sharti bajariladi. Bunga asosan nuqtada

Ikkinchi tomondan,
(5)
Bu qarama-qarshilikdan kelib chiqadi.
Endi, bо‘lsin. Bu esa ekanligini bildiradi.
U holda, nuqta oraliqning chegarasi, esa sohaning ichki nuqtasi bо‘lgani uchun nuqtadagi maksimumning zaruriy shartiga asosan
(6)
Ikkinchi tomondan yana (5) tengsizlik bajariladi. Bu qarama-qarshilik ekanligini kо‘rsatadi.
Shunday qilib, yig‘indiga tegishli bо‘lishi kerak bо‘lgan nuqta ga ham, ga ham tegishli bо‘lmaydi.
Bu qarama-qarshilik degan farazimizning notо‘g‘ri ekanligini kо‘rsatadi. Demak, . Shu bilan eksterimum prinsipi isbot bо‘ldi.
Ba’zi adabiyotlarda bu prinsip maksimum prinsipi deb ham yuritiladi.
3. Birinchi chegaraviy masala yechimining yagonaligi. (1) tenglama uchun qо‘yilgan birinchi chegaraviy masala bittadan ortiq yechimga ega bо‘lmaydi.
(1) tenglamaning (3) va (4) shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita yechimi mavjud bо‘lsin deb faraz qilamiz.
U holda bu yechimlarning ayirmasi funksiya (2) tenglamani va bir jinsli, ya’ni nolga teng bо‘lgan boshlang‘ich va chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Bundan esa ekstremum prinsipiga asosan funksiya maksimum va minimum qiymatlarining nolga tengligi kelib chiqadi. Demak,
Agar yechimlar boshlang‘ich va chegaraviy shartlarining farqi moduli bо‘yicha dan ( ) kichik bо‘lsa, u holda ekstremum prinsipiga asosan bо‘ladi, bu esa birinchi chegaraviy masala yechimining boshlang‘ich va chegaraviy shartlarga uzluksiz bog‘liqligini, ya’ni bu masala yechimining turg‘unligini bildiradi.
Birinchi chegaraviy masala yechimining mavjudligi Furye usuli bilan isbotlanadi.
Mavzuni mustahkamlash uchun savollar:

1. Issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun 1-chegaraviy masalanini qo‘ying.

2. Issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun ekstrimum prinsipi.
3. Issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshi masalasining yagonaligi.