11-Mavzu: Taqsimot parametrlarning statistik baholari va ularni topish usullari

Matematik kutilma uchun ishonchlilik oralig‘i
Faraz qilaylik, X tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi θ va dispersiyasi σ ² bo‘lsin. Noma’lum θ – parametr uchun ishonchlilik ehtimoli β – ga teng bo‘lgan ℮_β – ishonchlilik oralig‘ini tuzish masalasini qaraylik.
X₁, …, X_n – hajmi n – ga teng bo‘lgan tanlanma va unga mos tanlanma o‘rta qiymati va dispersiyasini tuzaylik:

, .

Eslatib o‘tamiz, – bir xil taqsimlangan, bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar yig‘indisidantuzilgandir. Shuning uchun, markaziy limit teoremaga asosan uning taqsimot funksiyasi normal qonunga yaqindir. ning matematik kutilmasini va dispersiyasini hisoblaymiz:

,
Endi δ _β >0 sonni shunday topaylikki, u uchun quyidagi munosabat o‘rinli bo‘lsin:
. (5)

- t.m.ning taqsimot funksiyasi normal qonunga yaqinligini hisobga olib, (5) – tengsizlikning o‘ng tomondagi β – sonini Laplas funksiyasi bilan bog‘laymiz:
. (6)

Bu yerda - o‘rta kvadratik chetlanish.

Laplas funksiyasining Φ(-x) = 1–Φ(x) xossasini inobatga olsak, (6) - tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

(7)

(6) va (7) tengliklardan quyidagini hosil qilamiz:

.

Oxirgi tenglikdan δ_β ni aniqlaymiz:

(8)

Bu yerda Φ^-1(x) orqali Laplas funksiyasiga teskari funksiyani belgiladik. (8) – tenglik bilan aniqlangan δ_β – soni noma’lum miqdor orqali yoziladi. Yetarli katta n lar uchun tanlanma dispersiya S² nazariy dispersiyaga yaqin bo‘lgani uchun ni taqriban ga teng deyish mumkin, ya’ni

Shunday qilib, noma’lum o‘rta qiymat θ – uchun β – ishonchlilik ehtimoliga teng ℮_β – ishonchlilik oralig‘i

℮_β= (9)

ga teng bo‘ladi. Bu yerda .