12-мавзу: Uch karrali integralda oʻzgaruvchini almashtirish. Karrali integrallarning tadbiqlari

12-мавзу: Uch karrali integralda oʻzgaruvchini almashtirish. Karrali integrallarning tadbiqlari


sohada , , oʻrniga qoʻyish bajarilgan boʻlsin. U holda koordinatalar tekisligidagi soha koordinatalar tekisligida biror yopiq sohaga akslanadi.
Agar sohada , , funksiyalar uzluksiz birinchi tartibli xususiy hosilalarga ega va
(2.8)
boʻlsa, u holda uch karrali integral uchun
(2.9)
oʻzgaruvchilarni almashtirish formulasi oʻrinli boʻladi.


Uch karrali integralni silindrik koordinatalarida hisoblash
(2.9) oʻzgaruvchilarni almashtirish formulasidan foydalanib, uch karrali integralni silindrik koordinatalarida hisoblaymiz.
sonlar uchligiga fazo nuqtasining silindrik koordinatalari deyiladi, bu yerda nuqtaning tekislikka proeksiyasi radius vektorining uzunligi, bu radius vektorning oq bilan tashkil qilgan burchagi, nuqtaning applikatasi (19-shakl).
Silindrik koordinatalar dekart koordinatalari bilan quyidagi bogʻlanishga ega
,
bu yerda
Silindrik koordinatalar uchun

Demak, uch karrali integral uchun
(2.10)
s ilindrik koordinatalarga oʻtish formulasi oʻrinli boʻladi.
3-misol. integralni hisoblang, bunda

sirtlar bilan chegaralangan soha.
Yechish. Berilgan sirtlar boʻyicha soha shaklini chizamiz (20-shakl).
Integralni silindrik koordinatalarda hisoblaymiz:





Uch karrali integralni sferik koordinatalarida hisoblash
sonlar uchligiga fazo nuqtasining sferik koordinatalari deyiladi, bu yerda nuqta radius vektorining uzunligi, radius vektorning tekislikka proeksiyasining oʻq bilan tashkil qilgan burchagi, radius vektorning oʻqdan ogʻsh burchagi (21-shakl).
Sferik koordinatalar dekart koordinatalari bilan quyidagi bogʻlanishga ega
.
bu yerda .
Sferik koordinatalar uchun

Demak, uch karrali integral uchun
(2.11)
s ferik koordinatalarga oʻtish formulasi oʻrinli boʻladi.
4-misol. integralni hisoblang, bu yerda , sirtlar bilan chegaralangan soha.
Yechish. integrallash sohasi tekislikning oʻng tomonda joylashgan yarim shardan iborat. Shu sababli integralni sferik kkodinatalarda hisoblaymiz, bunda :



Uch karrali integralning geometrik ma’nosiga koʻra jismning hajmi

integral bilan hisoblanadi.
5-misol. sirt bilan chegaralangan jism hajmini hisoblang.
Yechish. Sirt tenglamasi ifodani oʻz ichiga olgani sababli tenglamani sferik koordinatalarda yozib olamiz:

va oʻzgaruvchilar sirt tenglamasiga kvadratlari bilan qatnashadi. Shu sababli jism va tekisliklarga nisbatan simmetrik boʻladi. boʻlgani uchun jism hajmining chorak qismini hisoblash etarli. Birinchi oktantda boʻladi. Bundan


Zichligi ga teng boʻlgan jismning ba’zi mexanik parametrlari uch karrali integral yordamida quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:
1) jismning massasi:
;
2) jismning , va tekisliklarga nisbatan statik momentlari:


3) jism ogʻirlik markazining koordinatalari:

4) jismning koordinatalar boshiga, , , oʻqlarga va , ,
tekisliklarga nisbatan inertsiya momentlari




6-misol. sirtlar bilan chegaralangan bir jinsli qattiq jism markazining koordinatalarini toping (22-shakl) ¹.
Yechish. Masalaning shartga koʻra , jism va oʻqlarga nisbatan simmetrik va shu sababli
Jismning massasini va tekislikka nisbatan inersiya momentini silindrik koordinatalarida hisoblaymiz:




U holda
va