15-Mavzu: Bir jinsli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari. Reja

Ta`rif. n ta noma`lum m ta chiziqli tenglamalar sistemasi deb ushbu
(1)

ko’rinishdagi sistemaga aytiladi.

(1) da bir vaqtda a_ij=0 bo’lmaydi, chunki bunday holda sistemaga ega bo’lmaymiz. Lekin, (1) da b_i=0 bo’lishi mumkin. Bunday holda (1) sistema ushbu
(2)
ko’rinishda bo’ladi.
Agar (1) sistemada noldan farqli b_i(i= ) mavjud bo’lsa, u holda (1) sistemaga bir jinsli bo’lmagan sistema, b_i=0(i= ) bo’lsa, u holda (1) sistemaga bir jinsli sistema deyiladi. Ko’p hollarda (2) sistema bir jinsli bo’lmagan (1) sistemaga mos bir jinsli sistema deb ham yuritiladi.
Bu sistemada kengaytirilgan matritsaning oxirgi ustuni elementlari nolga teng bo’lgani uchun sistema matritsasi va kengaytirilgan matritsalar rangi teng bo’ladi, r(A)=r(B)bo’ladi. Shuning uchun Kroneker-Kopelli teoremasiga ko’ra bir jinsli tenglamalar sistemasi har doim birgalikda bo’ladi. Masalan, (0, 0, …, 0)=0 sistemaning yechimi (nol yechim) bo’ladi.
Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi (bchts) doimo hamjoyli sistema bo’ladi, chunki (0,0,...,0)= vektor (4) ning har bir tenglamasini to’g’ri sonli tenglikka aylantiradi.
Teorema. (2) ko’rinishdagi n ta noma’lumli m ta BCHTS, mMasalan,

sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’lib, ulardan biri nolli yechim, qolganlari nolmas yechim bo’ladi.
1-misol. sistemani yeching.

Yechish.

Bu sistemadan x₁=0, x₂=0, x₃=0, x₄=0 larni topamiz. Demak, berilgan sistema yagona nol yechilma (x₁=0, x₂=0, x₃=0, x₄=0) ga ega.

2-misol. sistemani yeching.
Yechish. 
Bundan x₁=x₃, x₂=-x₃ ga ega bo‘lamiz. Bu birjinsli sistema ham cheksiz ko‘p yechilmalarga ega.