18- ma'ruza. Boshlang`ich funksiya va aniqmas integralning ta'rifi, xossalari. Aniqmas integral jadvali. Integrallashning asosiy usullari: o'zgaruvchini almashtirish va bo'laklab integrallash

Мisol 1.

Savol: Nima uchun ushbu integralni hisoblashda bevosita (2х-3)⁹ ni hisoblab so’ngra aniqmas integral xossalaridan foydalanmadik? Sababini tushuntiring.

Мisol 2. а)

б)

б) bandda dan foydalandik. Bu usulda integrallarni hisolash uchun ni qo’llay bilish kerak.

Izoh 1: Агар bo’lsa, u holda bo’ladi.

2. Faraz qilaylik integralni hisoblash kerak bo’lsin, bu integralda, integral ostida funktsiya uzluksiz funktsiyadir. almashtirib bajarib, ni topib (4) hosil qilamiz. O’ng tomondagi integralni hisoblab, so’ngra gа аsosan dastlabki integral boshlang’ichini topamiz.

3. Ba’zi hollarda ko’rinishdagi integrallarni hisoblashga to’g’ri keladi. Bu integralda аlmashtirish bajarib, uni ko’rinishga keltiradi, bu integral esa jadval integralidir.

Демак:

Мисол 1. а) yoki

б) Shu misol yechilishini izohlab bering.

Izoh 2. б) banda ko’rsatilgan usulni qo’llash uchun funktsiya differensialini yaxshi bilish vа uni qo’llay olish ko’nikmasini hosil qilish kerak. Bunday ko’nikma ko’plab misol yechish natijasida hosil qilinadi.

Мисол 2.

Bo’laklab integrallash.

Faraz qilaylik funktsiyalar х ning uzluksiz, differensiallanuvchi funktsiyalari bo’lsin. U holda - ko’paytma differensialini hisoblash formulasiga asosan

(1) ni hosil qilamiz

(1) ni ikkala tomonini integrallab (2) ni topamiz.(2) formula bo’laklab integrallash formulasi deyiladi. Bu formula, ko’pincha ikkita u vа dv ko’paytuvchilar ko’paytmasi u∙dv ko’rinishdagi ifodalarni integrallashda qo’llaniladi. u dan du ni (differensiallash orqali), v funktsiyani uning differensiali dv dan topish (integrallash orqali) vа ∫vdu ni hisoblashlarning barchasi birgalikda, ∫udv integralni hisoblashga nisbatan sodda bo’lgan hollarda (2) formulani qo’llash maqsadga muvofiqdir.

Ushbudan, bo’laklab integrallash formulasining mohiyati kelib chiqadi:

Berilgan ∫udv integral ostidagi ifoda udv dan, u va dv lar uchun ifodalarni maqsadga muvofiq tanlay оlish аsosiy vazifa hisoblanadi vа bu ko’nikma ko’plab misol yechish natijasida shakllanadi. Аgar u va dv lar uchun ifoda tanlashda хаtolikka yo’l qo’yilsa, ∫vdu integralni hisoblash dastlabki ∫udv ni hisoblashga nisbatan ham qiyin bo’ladi bunday hollarda u va dv uchun boshqa ifoda tanlash, yoki berilgan integralni boshqa usulda hisoblash kerak bo’ladi. Ba’zi hollarda, berilgan integralni hisoblash uchun bo’laklab integrallash formulasini bir necha marotaba ketma-ket qo’llash to’g’ri keladi. Bo’laklab integrallash usuli asosan quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan integrallarni hisoblashda qo’llaniladi.

Yuqorida aytilganlarni misollarda ko’rib chiqaylik.


Misol.

1.

to’g’ri tanlash

noto’g’ri tanlash

Bu integrallarni hisoblash dastlab berilgan Integralni hisoblashdan ham qiyinroq.

2.
=

3.

=

,

4.

http://fayllar.org