2-§ Integrallarni taqribiy hisoblash usullari, samaradorligi. Matrisalarni ko’paytirish. Determinantni hisoblash

To’g’ri to’rtburchaklar usuli. Bu formulani keltirib chiqarish uchun dastlab kesmani nuqtalar bilan n ta teng bo’lakka bo’lamiz. Har bir bo’lakning uzunligi ga teng. Bu yerda xi nuqtalar x0=a, x1=a+h; x2=a+2h, xn-1=a+(n-1)h, xn=b ga teng bo’ladi. Bu nuqtalar tugunlar deb ataladi. Biz shu tugunlarda f(x) funksiya qiymatlarini hisoblaymiz. Y0=f(a), y1=f(x1), y2=f(x2), yn=f(xn) bo’ladi.
Funksiya grafigida y0, y1, … yn sonlar ordinata o’qidan, x0, x1, .. xn larni abscissa o’qidan belgilaymiz.
a rasm b rasm
Rasmlardan ko’rinib turibdiki, biz egri chiziqli trapetsiyani n ta to’rtburchakdan iborat ko’pburchak bilan almashtirdik. Integralni hisoblash uchun ushbu to’rtburchaklar yuzalarining yig’indisini topishimiz kerak.
a rasm chap to’rtburchaklar usuli deb nomlanadi. Chunki, bu yerda to’rtburchakning tomoni chizmaning chap tomonidan boshlab olinyapti. nuqtaning y o’qidagi qiymati to’rtburchakning bo’yi va ayirmaning qiymati to’rtburchakning eni bo’lyapti. Demak, chap tomondagi birinchi to’rtburchakning yuzasi ga teng. Xuddi shunday qolgan to’rtburchaklarning ham yuzasini topib yuzalarni yig’indisini olsak, ko’pburchak yuzasi quyidagiga teng bo’ladi:

bo’lganligi uchun formulamizni quyidagicha yozib olamiz.
; h ni qavsdan chiqarsak,


b rasm o’ng to’rtburchaklar usuli deb ataladi. Chunki, bu yerda to’rtburchakning tomoni chizmaning o’ng tomonidan boshlab olinyapti. nuqtaning y o’qidagi qiymati to’rtburchakning bo’yi va ayirmaning qiymati to’rtburchakning eni bo’lyapti. Demak, o’ng tomondagi birinchi to’rtburchakning yuzasi ga teng. Xuddi shunday qolgan to’rtburchaklarning ham yuzasini topib yuzalarni yig’indisini olsak, ko’pburchak yuzasi quyidagiga teng bo’ladi:

bo’lganligi uchun formulamizni quyidagicha yozib olamiz.
; h ni qavsdan chiqarsak,


(4) va (5) formulalarning ikkalasi ham yetarlicha aniqlikda integralni qiymatini hisoblab bera oladi. Lekin, a va b rasmlardan ko’rinib turibdiki egri chiziqli trapetsiyani ko’pburchak bilan almashtirganimizda, xatoliklar vujudga kelyapti. Shu xatolikni yanada kamaytirish uchun nuqtalarning o’rtasini olib shu nuqtada funksiya qiymatlarini aniqlaymiz. Natijada formulamiz quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.

Bu formulani o’rta to’rtburchaklar usuli deb nomlaymiz.

o’rta to’rtburchaklar usuli rasmi
Misol. integralni chap to’rtburchaklar formulasidan foydalanib taqribiy hisoblansin.
Buning uchun integrallash kesmasini ta bo’lakka bo’lamiz va hisoblashlar natijalarini keltiramiz:

Bizning misolda bo’lgani uchun, to’g’ri to’rtburchaklar formulasiga asosan, quyidagi natijani hosil qilamiz.
X=0.1; =0.9901
X=0.2; =0.9615
X=0.3; =0.9174
X=0.4; =0.8621
X=1.0 =0.5000
7.5998
.
Dastur kodi
#include
#include
using namespace std;
double funk(double x)
{
return (1.0/(1+x*x));
}
int main()
{
double a,b,S=0, xa;
int n=10;
cout<<"integral chegarasini kiriting"<
cin>>a>>b;
xa=a+0.1;
while (xa
{
S+=funk(xa);
xa+=0.1;
}
S=S*fabs(b-a)/n;
cout << S;
return 0; }