2. Ikki nuqta orasidagi masofa Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi va ???? ????1, ????, ????1, ???? ????2, ????2, ????2 nuqtalar berilgan. Bu nuqtalar orasidagi masofani topamiz

2. Ikki nuqta orasidagi masofa Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi va 𝐴 𝑥1, 𝑦, 𝑧1 , 𝐵 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 nuqtalar berilgan. Bu nuqtalar orasidagi masofani topamiz. 𝐴1 va 𝐵1 nuqtalar mos ravishda 𝐴 va 𝐵 ning 𝑂𝑥𝑦 tekislikdagi proektsiyalari bo’lsin. Tekislikda ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra 𝐴1𝐵1 = (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 bo’ladi. 𝐴 nuqtadan 𝐴1𝐵1 kesmaga parallel chiziq o’tkazib, uni 𝐵2 bilan belgilaymiz. U holda 𝐵𝐵2 kesmaning uzunligi 𝑧2 − 𝑧1 ga teng. 𝐴𝐵 = (𝐴𝐵2) 2 + (𝐵𝐵2) 2 = = (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 + (𝑧2−𝑧1) 2 3. Fazoda tekislik va uning tenglamasi Faraz qilaylik, fazoda Dekart koordinatalar sistemasi, 𝑃 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 hamda (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) nuqtalar berilgan bo’lsin. Bu ikki nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtalarning geometrik o’rni tekislikni ifodalaydi. Bu tekislikda ixtiyoriy 𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 nuqtani olaylik. Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko’ra 𝑀𝑃 = (𝑥 − 𝑎1) 2+(𝑦 − 𝑏1) 2+(𝑧 − 𝑐1) 2 , 𝑀𝑄 = (𝑥 − 𝑎2) 2+(𝑦 − 𝑏2) 2+(𝑧 − 𝑐2) 2 bo’ladi. Agar 𝑀𝑃 = 𝑀𝑄 bo’lishini e’tiborga olsak, unda (𝑥 − 𝑎1) 2+(𝑦 − 𝑏1) 2+(𝑧 − 𝑐1) 2= = (𝑥 − 𝑎2) 2+(𝑦 − 𝑏2) 2+(𝑧 − 𝑐2) 2 Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshiramiz: 𝑎1 2 + 𝑏1 2 + 𝑐1 2 − 2𝑎1𝑥 − 2𝑏1𝑦 − 2𝑐1𝑧 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = = 𝑎2 2 + 𝑏2 2 + 𝑐2 2 − 2𝑎2𝑥 − 2𝑏2𝑦 − 2𝑐2𝑧 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 Bu tenglikni quyidagicha ham yzish mumkin. 2(𝑎2−𝑎1)𝑥 + 2(𝑏2−𝑏1)𝑦 + 2(𝑐2−𝑐1)𝑧 + +𝑎1 2 + 𝑏1 2 + 𝑐1 2 − 𝑎2 2 − 𝑏2 2 − 𝑐2 2 = 0 𝐴 = 2(𝑎2−𝑎1), 𝐵 = 2(𝑏2−𝑏1), 𝐶 = 2(𝑐2−𝑐1), 𝐷 = 𝑎1 2 + 𝑏1 2 + +𝑐1 2 − 𝑎2 2 − 𝑏2 2 − 𝑐2 2 belgilashlarni kiritsak, ushbu 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 (1) tenglamaga kelamiz. (1) tenglama fazoda tekisliknig umumiy tenglamasi deyiladi. Bu yerda 𝐴, 𝐵, 𝐶, o’zgarmas sonlar bo’lib, ular tekislikning fazodagi vaziyatini to’la aniqlaydi. Endi (1) tenglamaning xususiy hollarini qaraylik. 1 ° . 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0,𝐷 = 0 bo’lsin. U holda 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 0 tenglama hosil bo’lib, bu tenglama bilan aniqlangan tekislik koordinatalar boshi (0,0,0) nuqtadan o’tadi. 2 ° . 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0,𝐷 ≠ 0, 𝐶 = 0. Bu holda biz 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐷 = 0 tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama bilan aniqlangan tekislik 𝑂𝑧 o’qiga parallel tekislikdir. 3 ° . 𝐴 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0,𝐷 ≠ 0, 𝐵 = 0. Bu holda 𝐴𝑥 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 tekislik 𝑂𝑦 o’qiga parallel tekislikdir. 4 ° . 𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0,𝐷 ≠ 0, Bu holda 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 tekislik 𝑂𝑥 o’qiga parallel tekislikdir. 5 ° . 𝐴 = 0, 𝐵 = 0, 𝐶 ≠ 0,𝐷 ≠ 0. U holda (1) tenglama 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 ko’rinishga ega bo’lib, u 𝑂𝑥𝑦 kordinatalar tekisligiga parallel tekislikdir. 6 ° . 𝐴 = 0, 𝐶 = 0, 𝐵 ≠ 0,𝐷 ≠ 0. U holda (1) tenglama By+𝐷 = 0 ko’rinishga ega bo’lib, u 𝑂𝑥𝑧 kordinatalar tekisligiga parallel tekislikdir. 7 ° . 𝐵 = 𝐶 = 0, 𝐴 ≠ 0,𝐷 ≠ 0. U holda (1) tenglama Ax+𝐷 = 0 ko’rinishga ega bo’lib, u 𝑂𝑦𝑧 kordinatalar tekisligiga parallel tekislikdir. Tekislikning o’qlardan ajratgan kesmalar bo’yicha tenglamasi tenglmasi 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 + 𝑧 𝑐 = 1 (2) ko’rinishga ega. Fazoda 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1𝑧 = 0 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2𝑧 = 0 (3) tenglamalar bilan aniqlangan 𝑇1 va 𝑇2 tekisliklar berilgan bo’lsin. Bu ikki tekislik parallel bo’lishi uchun 𝐴1 𝐴2 = 𝐵1 𝐵2 = 𝐶1 𝐶2 shart bajarilishi zarur va yetarli. 𝑇1 va 𝑇2 tekisliklar perpendikulyar bo’lishi uch