2-mustaqil ishi
Yüklə 0,83 Mb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- V at a rl ar u s u l i
|
tn= 𝜓 (tn-1). t0 a;b formulalar bilan aniqlanadi
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= 𝜓 (x) tenglama uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakillar misolida ko‘rish mumkin. Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi, c rasm uzoqlashuvchi va t0 qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, ti – ni yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi. Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz. 1) f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror (masalan, grafik) usul bilan aniqlaymiz. 2) [a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a).f(b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz. 3)Tenglamani x (x) ko‘rinishga keltirib, 𝜓 (x)[a,b] ekanligini hamda [a;b] da '(x) mavjudligini tekshiramiz va q max '(x) ni topamiz. xa;b 4) Agar q<1 bo‘lsa, xn (xn−1) ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x0 uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz. 5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni xn- xn-1 <shart bajarilguncha davom ettiramiz. 6) Ildizning taqribiy qiymati uchun xn ni olamiz. Misol.
Tenglamani F(x)=0 ko’rinishdan 𝑥 = 𝜓(𝑥) tenglamaga bir necha xil ko’rinishga o’tkazib olamiz. 1) 𝑥 = 𝑥 + (5𝑥3 − 20𝑥 + 3) bunda 𝜓1(𝑥) = 5𝑥3 − 19𝑥 + 3 3 3 2) 𝑥 = √20𝑥−3 bunda, 𝜓2(𝑥) = √20𝑥−3 3) 𝑥 = 5𝑥3+3 bunda, 𝜓3(𝑥)=5𝑥3+3 (𝑥) funksiyalarning qaysi biri yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab olamiz. Buning uchun, |ψ′(x)| < 1 shartni bajaruvchi ekanligini tekshiramiz. 1 [0,1] intervaldan olingan x0 nuqtani olingan hosilaga qo’yamiz. Masalan, x0=0.5; 𝜓′ (𝑥) = 15𝑥2 − 19 2 3 𝜓′ (𝑥) = 4(20𝑥 − 3) Iteratsion jarayon yaqinlashuvchanligini tekshiramiz {|𝜓′ (𝑥0)| > 1 – uzoqlashuvchi iteratsion jarayon 2 0 3 |𝜓′ (𝑥0)| < 1 – yaqinlashuvchi iteratsion jarayon Bundan ko’rishimiz mumkinki, faqat 𝜓3(𝑥) funksiya yaqinlashuvchi ekan. 1) 𝑥1=5𝑥23+3 ni hisoblaymiz va |𝑥1 − 𝑥0| < 𝜀 shartni tekshiramiz. 𝜀 = 0.0001. 2) 𝑥2=5𝑥23+3 |𝑥2 − 𝑥1| < 𝜀 Bu jarayonni |𝑥1 − 𝑥0| < 𝜀 shart bajarilguncha davom ettiramiz. 4. Vatarlar usuli Vatarlar usuli [a, b] kesmaga to’g’ri keluvchi f(x) egri chiziq yoyini tutashtiruvchi vatar OX o’qini shu kesma ichida kesib o’tishiga asoslangan. Vatarning OX o’qi bilan kesishgan nuqtasi ildizga yaqinroq (1-rasmda x1 va ga mos nuqtalar). Agar ildiz yotgan kesma sifatida [a, x1] yoki [x1, b] olinsa, avvalgi [a, b] kesmaga nisbatan kichikroq kesma hosil bo’ladi. Yangi kesmada mos f(x) yoyiga yana vatar o’tkazib, ilgarigidan ko’ra torroq oraliqni aniqlash mumkin va hokazo. Bu jarayonni davom ettirib, ildiz yotgan oraliqni istalgancha kichraytirish mumkin bo’ladi. Tenglamaning [a, b] ajratilgan ildizini aniqlikda hisoblash uchun x0 boshlang’ich yaqinlashish tanlab olinadi. Bu 1-rasmda ko’rsatilgandek f(x) funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarning ishoralariga bog’liq. Agar y'<0 ba y''<0 (1 a-rasm) yoki y'>0 va y''<0 (1 d-rasm) bo’lsa x0=b, qolgan hollarda x0=a qilib olish kerak (1-b va 1-c rasmlar). b) c) d)
Birinchi x0=a bo’lgan holda x=b qo’zg’almas nuqta bo’ladi va ildizga keyingi yaqinlashishlar 𝑓(𝑥𝑛)(𝑏−𝑥𝑛) 𝑛+1 𝑛 (𝑏)−𝑓(𝑎) formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n=0, 1, 2, … yaqinlashish tartibi, xn-n – tartibli yaqinlashish. Ikkinchi, x0=b bo’lgan holda x=a qo’zg’almas nuqta bo’ladi. Keyingi yaqinlashishlar 𝑓(𝑎)(𝑥𝑛−𝑎) 𝑛+1 𝑛 (𝑥𝑛)−𝑓(𝑎) formula bilan hisoblanadi. Yaqinlashish jarayoni |xn-xn-1|≤shart bajarilguncha davom etadi. Bunda 𝑥0=b Yüklə 0,83 Mb. Dostları ilə paylaş:
|