21-ma’ruza. Yo’naltirilgan graflarda marshrut, zanjir, sikl (2 soat). Reja

21.3.Yo’naltirirlgan grafda Eyler zanjirlari va sikllari, yo’naltirilgan to’la graf.


Teorema (Eyler 1752). Tekis va bog‘lamli graf uchun tenglik o‘rinlidir, bu yerda , , – yoqlar soni.
Isboti. Teoremani isbotlash uchun matematik induksiya usulini grafdagi qirralar soni bo‘yicha qo‘llaymiz. Induksiya usulining bazasi sifatida bo‘lgan holni qaraymiz. Bu holda teoremaning tasdig‘iga ko‘ra bo‘lishi kerak. Haqiqatdan ham, tekis va bog‘lamli graf bo‘lgani uchun, u yagona uchdan tashkil topadi va bu uch yagona (cheksiz) yoqda yotadi, ya’ni va . Demak, bu holda teoremaning tasdig‘i to‘g‘ridir.
Induksion o‘tish: teoremaning tasdig‘i uchun to‘g‘ri bo‘lsin deb faraz qilib, uning uchun ham to‘g‘ri ekanligini ko‘rsatamiz. Farazimizga ko‘ra tenglik o‘rinlidir. ta qirraga ega tekis va bog‘lamli grafga ( )- qirrani (uni bilan belgilaymiz) shunday qo‘shish kerakki, bunda qirra graf joylashgan tekislikda yotsin va hosil bo‘lgan graf ham bog‘lamli bo‘lsin. Bu amalni bajarganda quyidagi uchta holdan biri ro‘y beradi:
1) qo‘shilayotgan qirra sirtmoqdir – bu holda qirra, albatta, grafdagi uchlardan biriga insident bo‘lib, yoqlardan birida yotadi va bu yoqni ikkiga (sirtmoq yotgan yoqning sirtmoq chizig‘i bilan chegaralangan ichki va tashqi qismlari) ajratadi, ya’ni uchlar soni o‘zgarmaydi, yoqlar soni esa birga oshadi: ;
2) qo‘shilayotgan qirra grafda bor bo‘lgan ikkita uchlarni tutashtiradi – bu holda ham grafning biror ( qirra yotgan) yoqi ikkiga ajraladi, uchlari soni esa o‘zgarmaydi: ;
3) qo‘shilayotgan qirra sirtmoq emas va u grafdagi uchlardan faqat bittasiga insidentdir – bu holda grafning biror yoqida qirraga insident bo‘lgan bitta boshqa uch yasaladi (grafning uchlari soni bittaga oshadi) va qirra joylashgan yoq yaxlitlikni saqlagan holda qirrani o‘z ichiga oladi (yoqlar soni o‘zgarmaydi): .
Teoremaning tasdig‘idagi tenglik Eyler formulasi deb ataladi.
Eyler formulasi stereometriyada ham qo‘llaniladi: uchlari ta, yoqlari ta va qirralari ta ixtiyoriy ko‘pyoqli uchun Eyler formulasi o‘rinlidir. Bu tasdiqning negizida isboti o‘quvchiga havola qilinayotgan quyidagi tasdiq yotadi: stereometriyada berilgan ta’rifga ko‘ra aniqlangan ixtiyoriy ko‘pyoqliga mos tekis izomorf graf mavjuddir.
Eyler teoremasidan bir qator natijalar kelib chiqadi. Masalan, bu teoremadan foydalanib uni osonlik bilan bog‘lamli bo‘lmagan graflar uchun quyidagicha umumlashtirish mumkin.
Natija.Tekis graf uchun tenglik o‘rinlidir, bunda , , – yoqlar soni, –bog‘lamlilik komponentalar soni.