25-ma’ruza. Ikki kаrrаli intеgrаlning tatbiqlаri. Ikki kаrrаli intеgrаl yordamida yuza va jism hajmini hisoblash. Massa, Oʻrta qiymat va inersiya momenti
25-MA’RUZA. IKKI KАRRАLI INTЕGRАLNING TATBIQLАRI. IKKI KАRRАLI INTЕGRАL YORDAMIDA YUZA VA JISM HAJMINI HISOBLASH. MASSA, OʻRTA QIYMAT VA INERSIYA MOMENTI.
Rеja:
1. Ikki karrali intеgrаlning geometrik tatbiqlari:
a)tekis shakl yuzini va jism hajmini hisoblash;
b)sirt yuzini hisoblash.
2.Ikki karrali intеgrаlning fizik tatbiqlari:
a)massa va ogʻirlik markazini hisoblash;
b)statik moment va inersiya momentini hisoblash.
Tayanch ibora va tushunchalar
Ikki karrali integral yordamida yuza hisoblash, jism hajmini hisoblash, sirt yuzini hisoblash, massa hisoblash, ogʻirlik markazi, statik moment, inersiya moment.
1. Ikki karrali integralning geometrik tatbiqlari.
a) Agar D sohada boʻlsa, u holda ikki karrali integral son jihatidan asosi D boʻlgan yasovchilari Oz oʻqiga parallel boʻlgan, yuqoridan sirt bilan chegeralangan Q silindrik jismning hajmiga teng (1- shakl).
(25.1)
1-shakl
1-misol.sirtlar bilan chegaralangan jismning hajmini hisoblang.
Yechish. Berilgan jismni quyidagi koʻrinishda tasvirlash kerak:
bunda ― soha Oxy tekislikning va egri chiziqlari bilan chegaralangan qismi, ya’ni
Ikki karrali integralning geometrik ma’nosiga koʻra, jismning hajmi quyidagicha topiladi:
Xususan, boʻlganda, ikki karrali integral D sohaning yuziga teng, ya’ni
(25.2)
Agar D sohani aniqlaydiganfunksiyalar qutb koordinatalar sistemasida berilgan boʻlsa, D sohaningyuzi
(25.3)
formula bilan hisoblanadi.
2-misol.aylanalar bilan chegaralangan soha yuzini toping( aylanadan tashqaridagi qismi, 2-shakl).
2-shakl
Yechish. A nuqtaning koordinatasini topamiz: Demak, . U holda
b) Agar silliq sirt qismining xOy tekislikdagi proyeksiyasi boʻlsa, u holda bu sirt yuzini quyidagi formula bilan hisoblanadi:
(25.4)
