3. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari, samaradorligi

Taqribiy integrallash formulalari xatoligini baholash

va ulardan amalda foydalanish

Bu yerda quyidagi teoremani keltiramiz:

2.1-Teorema. Agar f(x) funktsiyasining kesmada yetarlicha (masalan, Simpson formulasi uchun to‘rtinchi) tartibli chegaralangan hosilasi mavjud bo‘lsa, taqribiy integrallash formulalari xatoliklarining bahosi uchun quyidagilar o‘rinlidir:
a) To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi uchun

b) Trapetsiya formulasi uchun

c) Simpson formulasi uchun

Bu yerda R(h) taqribiy integrallash formulasining xatoligi

Isboti. Bu teoremaning isbotini faqat Simpson formulasi uchun keltiramiz, qolgan formulalar uchun teorema shunga o‘xshash isbotlanadi.

Bu taqribiy formula xatoligini

bilan belgilasak, uni

ko‘rinishga keltirish mumkin.
Endi

funktsiyani kiritaylik. Bu funktsiya uchun r(0)=0 ekanligi oydindir, uning uchinchi tartibgacha hosilalarini olaylik:

oxirgini Lagranj teoremasini qo‘llash natijasida

ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda S x-t va x+t lar orasidagi son.
So‘nggi olingan natijani ketma-ket integrallab,

ko‘rinishga keltiramiz va t=h, x=x_2i-1 deb olsak:

oxirgidan
.
Endi Simpson formulasi xatoligining bahosi uchun (n=2m)

natijani olamiz. Bu esa Simpson formulasi uchun teoremaning o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi. Qolgan formulalar uchun teoremani isbotlashni o‘quvchining o‘ziga havola qilamiz.
Natija. To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi o‘zgarmas funktsiya, trapetsiyalar formulasi chiziqli funktsiya, Simpson formulasi esa uchinchi darajali ko‘phadlik uchun aniq (hatosiz) natija beradi.


2.1-Masala.Quyidagi