3-маъруза. Текисликда ва фазода аффин координаталар системаси. Кесмани берилган нисбатда бўлиш. ТЎҒри бурчакли декарт координаталар системаси. Ики нуқта орасидаги масофа. Текисликда ориентация

18-chizma

2-misol. Affin koordinatalar sistemasi berilgan A(3, -3), B(0, 3), C(-2, 0) nuqtalarni yasang.

Yechish. A nuqtani yasash uchun vektorni yasaymiz.
Buning uchun 0 nuqtadan boshlab vektorga kollinear vektorni, kollinear vektorlarni yasaymiz.
Bu vektorlarning yig’indisini yasasak OA vektoriga ega bo’lamiz va A nuqtani topamiz.

2. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish.
Tekislikni A va B nuqtalar va haqiqiy son berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Agar (4.2)
shart o’rinli bo’lsa, u holda N nuqta AB kesma berilgan nisbatda bo’ladi deyiladi.
sonni uchta A, B, N nuqtalarning oddiy nisbati deyiladi va =( AB, N) ko’rinishda yoziladi.
Agar >0 bo’lsa, va vektorlar bir xil yo’nalgan bo’ladi, kesmada yotadi, agar <0 bo’lsa, . va vektorlarning ishoralari har xil bo’ladi.
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), N(x, y) koordinatalarga ega bo’lsin.
Bo’luvchi N nuqtani koordinatalarini topaylik.
,
(4.2) formuladan foydalanib yozamiz.
x-x₁= (x₂-x₁)
u-u₁= (u₂-u₁)
Bundan:
(4.3)
(4.3) formula berilgan kesmani nisbatda bo’luvchi nuqta koordinatalarini topish formulasi.
Agar =1 teng bo’lsa, N nuqta berilgan kesmani teng ikkiga bo’ladi. Ya’ni (4.4)
1-misol. Uchlari A(1, 2), B(0, 5), C(-2, 3) nuqtalarda bo’lgan uchburchaklarning medianalar kesishgan nuqtasini toping.
Yechish AD mediana D(x, y) nuqta BC tomon o’rta nuqtasi x_D=-1, y_D=4, D(-1, 4).
Uchburchak medianalar kesishgan nuqtasi O(x, y) bo’lsin, u holda

Demak, .
To’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasi.
Affin koordinatalar sistemasining koordinat vektori ortogonal bazisni tashkil qilsa, ya’ni bo’lsa, u holda affin koordinatalar sistemasi dekart koordinatalar sistemasi bo’ladi. Bunday koordinatalar sistemasini (o, i, j) ko’rinishida belgilaymiz (21-chizma). Bu yerda i²=j²=1, ixj=0.
Dekart koordinat sistemasi affin koordinatalar sistemasining xususiy holi bo’lgani uchun affin koordinatalar sistemasiga nisbatan o’rinli mulohazalar Dekart koordinatalar sistemasida ham o’z kuchini saqlaydi.

21-chizma


x
Ammo dekart koordinatalar sistemada o’rni bo’lgan ba’zi mulohazalar affinda o’rinli bo’lavermaydi.