3-mavzu. Birinchi tartibli differensial tenglamalar. Bernulli va oʻzgarmaslarni variatsiyalash usullari. Bernulli va klero tenglamalari

Misol 3.
Misol 4.
Misol 5.
Bernulli usuli algoritmi quyidagicha:

1. 
   , almashtirish bajaramiz.
   
2. 
   almashtirishni differensial tenglamaga qoʻyamiz
   

3. 
   Ikkinchi va uchinchi qoʻshiluvchilardan qavsdan tashqariga chiqarsa boʻladigan hamma narsa chiqariladi:
   

4. 
   Tenglamalar sistemasiga kelamiz:
   

5. 
   Birinchi tenglamadan v ni topamiz, faqat bu bosqichda C qatnashmaydi.
   
6. 
   v ni ifodasini 2-tenglamaga qoʻyib u ni topamiz, C qatnashadi.
   
7. 
   – ga u va v – lar ifodalarini qoʻyamiz.
   

Misol 2.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

bu bosqichda .

5. 
   
   

6. 
   -umumiy yechim boʻladi.
   

BERNULLI DIFFERENSIAL TENGLAMASI.
Bernulli differensial tenglamasi deb,

koʻrinishdagi differensial tenglamaga aytiladi.
Koʻrinib turibtiki Bernulli differensial tenglamasi tuzilishi boʻyicha chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamani eslatayapti. Differensial tenglama Bernulli differensial tenglamasi ekanligini aniqlash uchun oʻng tomonda y ning a-darajasi qatnashganligidir.


koʻrinishdagi differensial tenglamalarga keladi, ularni qanday qilib yechishni esa koʻrib chiqdik.
y ning darajasidagi a –musbat ham (a>0), manfiy ham (a<0), kasr son ham boʻlishi mumkin.
Bernulli tenglamasi turli xil koʻrinishlarda berilishi mumkin:




Muhimi y ning birdan farqli darajasi qatnashsa boʻlgani. a>0 boʻlganda y=0 yechim Bernulli tenglamasining xususiy yechimi boʻladi.
Shunday qilib Bernulli tenglamasini yechish algoritmi quyidagicha:

1. 
   Oʻng tomondagi dan qutulish lozim. Buning uchun tenglamani ikkala tomonini ga boʻlamiz.
   

2. 
   dan qutulish lozim, buning uchun deb belgilash kiritamiz.
   
3. 
   
   

koʻrinishdagi chiziqli bir jinsli boʻlmagan 1-tartibli differensial tenglamaga kelamiz. Uni yechish algoritmini esa bilamiz.