4-ma’ruza: Ikkinchi tartibli va uchinchi tartibli determinantlar. Chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer formulalari

4-MA’RUZA:Ikkinchi tartibli va uchinchi tartibli determinantlar.

Chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer formulalari.

Reja

1. Ikkinchi tartibli va uchinchi tartibli determinantlar

2. Chiziqli tenglamalar sistemasi.

3. Ikki va uch uzgaruvchili tenglamalar sistemasini echishning Kramer usuli.

Quyidagi

ifoda ikkinchi tartibli determinant deyiladi.

Determinantni tashkil kiluvchi sonlar uning elementlari deb ataladi. Ikkinchi tartibli determinant ikkita satr va ikkita ustunga ega. Birinchi indeks satrining ikkinchi indeks ustunining tartibini bildiradi.

a₁₁, a₁₂ -birinchi satr, a₂₁, a₂₂-ikkinchi satr elementalari,

a₁₁, a₂₁-birinchi ustun, a₁₂, a₂₂-ikkinchi ustun elementalari,

a₁₁, a₂₂-determinantning bosh diagonali,

a₂₁, a₁₂-determinantning yordamchi diagonali elementalari deb ataladi.

Demak, ikkinchi tartibli determinantning son qiymati bosh diagonal elementlari kupaytmasidan yordamchi dioganali elementlari kumaytnasini ayirmasiga teng ekan.

1-misol.

2-misol. tenglama echilsin.

Yechish. -3x-6=8, -3x=14, x=-14/3.
Ta’rif b o’yicha quyidagicha

belgilanadigan va son qiymati

a₁₁a₂₂a₃₃+a₂₁a₃₂a₃₁+a₁₂a₂₃a₁₃-a₁₃a₂₂a₃₁-a₁₁a₂₃a₃₂-a₁₂a₂₁a₃₃ (1)

ga teng bulgan ifodaga aytiladi. Uchinchi tartibli determinantlar uchun satr, ustun, bosh va yordamchi diagonal tushunchalari yukoridagi kabi kiritiladi.

1. 
   tenglikning ung tomonida kaysi kunaytmalar «+» kaysilari «-» ishora bilan olinishini eslab kolish uchun quyidagi uchburchak koidasidan foydalanish kulaydir:
   

+ -

3-misol.
Ikki uzgaruvchili tenglamalar sistemasi berilgan bulsin.

Bu erda - uzgaruvchilarning koeffitsientlari, - saltag agzalar. Ushbu koeffitsientlardan foydalanip kuyidagi determinanni tuzamiz.

, , .

Bu - birinshi indeksi determinantning qatarini, ekinshi indeks ustunini aniqlaydi, bu m-qatarning, n-ustunining elementi. Bu determinant ush qator va ush ustundan iborat kvadrat determinant deliladi.

Bunda -asosiy, _x , _{y ,} _z -lar erdamchi determinantlar dep ataladi.

Tenglamalar sistemasining eshimlari asosiy hәm erdamchi determinantlar erdamida kuyidagicha aniqlanadi.

Mayli ush uzgaruvchili tenglamalar sistemasi berilgan bulsin.

Bu erda - uzgaruvchilarning koeffitsientlari, - saltag agzalar. Ushbu koeffitsientlardan foydalanip kuyidagi determinanni tuzamiz.

, ,

,

Bu - birinshi indeksi determinantning qatarini, ekinshi indeks ustunini aniqlaydi, bu m-qatarning, n-ustunining elementi. Bu determinant ush qator va ush ustundan iborat kvadrat determinant deliladi.

Bunda -asosiy, _x , _{u ,} _z -lar erdamchi determinantlar dep ataladi.

Agar x, u, z berilgen tenglamalar sistemasining eshimi bulsa, unda ular berilgan tenglamalarni tugri sonli tenglik-ayniyatga aylandiradi. Tenglamalar sistemasining eshimlari asosiy 81m erdamchi determinantlar erdamida kuyidagicha aniqlanadi.

Bunda kuyidagi hollar bo`lishi mumkin`

1. 0. Bunda berilgen tenglamalar sistemasi bir eshimga ega buladi.

2. =0 hәm _{x ,} _{u ,} _z determinantlardan kamida biri noldan farqli bolsa, unda tenglamalar sistemasi eshimga ega bolmaydi.

3. =_x = _u = _z bulsa, tenglemeler sistemasi yaki sheksiz k5p eshimga ega , yaki umuman eshimga ega emas bulishi mumkin.

Agar tenglamalar sistmasining barcha ozod xadlari nolge teng bolsa, onda bir jinslii sistema delinedi`

Ixtieriy bir jinsli tenglamalar sistemasi hesh bolmag`anda bir x=y=z=0 bir eshimga, yaniy nollik eshimga ega bo`ladi.

Agar sistema ushin 0 bo`lsa, unda sistema fakat nol eshimg ega boladi.

=0 te4lemeler sistemasining nolga teng bolmagan eshimga ega bulishining zaruriy sharti xisoblanadi. Bu xolda sistema sheksiz k5p nol bolma2an eshimlarga ega boladi.

Tenglamalar sistamasini determinantlar erdamitda eshimlarini topish Kramer usili deb ataladi.

Nazorat uchun savollar

1. Ikki uzgaruvchili tenglamalar sistemasi.

2. Uch uzgaruvchili tenglamalar sistemasi.

3. Ikki va uch uzgaruvchili tenglamalar sistemasini echishning Kramer usuli.