5 lb. Book of gre practice Problems

Quantity A
The distance from 
A
to 
C
Quantity B
9
a, b, c,
and 
d
are consecutive integers such that 
a
< 
b
< 
c
< 
d
.
2.
Quantity A
The average (arithmetic mean) of
a, b, c,
and 
d
Quantity B
The average (arithmetic mean) of
b
and 
c
3.
w, x, y,
and 
z
are consecutive odd integers such that 
w
< 
x
< 
y
< 
z
. Which of

---

the following statements must be true?
Indicate all such statements.
wxyz
is odd
w
+ 
x
+ 
y
+ 
z
is odd
w
+ 
z
= 
x
+ 
y
4.
Quantity A
The sum of all the odd integers
from 1 to 100, inclusive
Quantity B
The sum of all the even integers
from 1 to 100, inclusive

---

x
> 0 > 
y
5.
Quantity A
x
– 
y
Quantity B
(
x
+ 
y
)
2
a
< 
b
< 
c
< 
d
< 
0
6.
Quantity A
a
– 
d
Quantity B
bc
7. If set 
S
consists of all positive integers that are multiples of both 2 and 7,
how many numbers in set 
S
are between 140 and 240, inclusive?
ab
> 0
bc
< 0
8.
Quantity A
ac
Quantity B
0
abc
< 0
b
2
c
> 0
9.
Quantity A
ab
Quantity B
0
a, b
, and 
c
are integers such that 
a
< 
b
< 
c
.
10.
Quantity A
Quantity B
b

---

11. If 0 < 
a
< 
< 1, then which of the following must be true?
(A)
a
2
> 
a
> 
b
> 
b
2
(B)
b
> 
a
> 
a
2
> 
b
2
(C)
b
2
> 
a
> 
a
2
> 
b
(D)
b
2
> 
a
2
> 
b
> 
a
(E)
b
2
> 
b
> 
a
> 
a
2
12.
Quantity A
a
× 
c
Quantity B
b
× 
d
13.
Quantity A
The number of distinct positive
factors of 32
Quantity B
The number of distinct positive
factors of 20
14. If 
y
2
= 4 and 
x
2
y
= 18, which of the following values could equal 
x
+ 
y
?
Indicate two such values.
–5
–1
1
5
6
15.
Quantity A
The remainder when 10
11
is
divided by 2
Quantity B
The remainder when 3
13
is divided
by 3
q
is odd.

---

16.
Quantity A
(–1)
q
Quantity B
(–1)
q
+ 1
n
is a positive integer.
17.
Quantity A
(–1)
4
n
× (–1)
202
Quantity B
(3)
3
× (–5)
5

---

18. If 
x
is a positive integer, which one of the following could be the
remainder when 73
x
is divided by 10?
Indicate all such remainders.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
19. If 
x, y
, and 
z
are integers, 
y
+ 
z
= 13, and 
xz
= 9, which of the following
must be true?
(A)
x
is even
(B)
x
= 3
(C)
y
is odd
(D)
y
> 3
(E)
z
< 
x
20.
Quantity A
The least prime number greater
than 13
Quantity B
The greatest prime number less
than 16
21. The average (arithmetic mean) of 11 integers is 35. What is the sum of all
the integers?
22. What is the sum of all the integers from 1 to 80, inclusive?
(A)
3,200
(B)
3,210

---

(C)
3,230
(D)
3,240
(E)
3,450

---

23. If 
p
is the sum of all the integers from 1 to 150, inclusive, and 
q
is the sum
of all the integers from 1 to 148, inclusive, what is the value of 
p
– 
q
?
24. If 
m
is the product of all the integers from 2 to 11, inclusive, and 
n
is the
product of all the integers from 4 to 11, inclusive, what is the value of 
?
Give your answer as a fraction.
a, b
, and 
c
are positive even integers such that 8 > 
a
> 
b
> 
c
.
25.
Quantity A
The range of 
a, b
, and 
c
Quantity B
The average (arithmetic mean) of
a, b
, and 
c
26. If 
x
is a non-zero integer and 0 < 
y
< 1, which of the following must be
greater than 1?
(A)
x
(B)
(C)
xy
2
(D)
x
2
y
(E)

---

a, b
, and 
c
are consecutive integers such that 
a
< 
b
< 
c
< 4.
27.
Quantity A
The range of 
a, b
, and 
c
Quantity B
The average of 
a, b
, and 
c
is a prime number, 
xy
is even, and 
x
> 4
y
> 0.
28.
Quantity A
y
Quantity B
1
x
is even, 
is a prime number, and 
x
+ 
y
= 11.
29.
Quantity A
x
Quantity B
y
The product of positive integers 
f, g
, and 
h
is even and the
product of integers 
f
and 
g
is odd.
30.
Quantity A
The remainder when 
f
is divided
by 2
Quantity B
The remainder when 
h
is divided
by 2
x
2
> 25 and 
x
+ 
y
< 0
31.
Quantity A
x
Quantity B
y

---

p
and 
w
are single-digit prime numbers such that 
p
+ 
w
< 6. 
p
2
is
odd.
32.
Quantity A
w
Quantity B
3
x
2
> 
y
2
and 
x
> –|
y
|
33.
Quantity A
x
Quantity B
y
The sum of four consecutive integers is –2.
34.
Quantity A
The smallest of the four integers
Quantity B
–2
35. If 
g
is an integer and 
x
is a prime number, which of the following must be
an integer?
Indicate all such expressions.
g
2
– 
x
2

---

Number Properties Answers
1. 
(D).
Whenever a question looks this straightforward (4 + 5 = 9, so the
quantities initially appear equal), be suspicious. Draw the number line
described. If the points 
A
, 
B
, and 
C
are in alphabetical order from left to right,
then the distance from 
A
to 
C
will be 9. However, alphabetical order is not
required. If the points are in the order 
C
, 
A
, and 
B
from left to right, then the
distance from 
A
to 
C
is 5 – 4 = 1. Therefore, the relationship cannot be
determined.
2. 
(C).
When integers are consecutive (or just evenly spaced), the average
equals the median. Since the median of this list is the average of the two
middle numbers, Quantity A and Quantity B both equal the average of 
b
and
c
. Alternatively, try this with real numbers. If the set is 2, 3, 4, 5, both
quantities equal 3.5. No matter what consecutive integers are tested, the two
quantities are equal.
3. 
wxyz
 is odd and 
w
+ 
z
= 
x
+ 
y
 only.
This question tests the properties of
odd numbers as well as of consecutives.
The first choice is TRUE, as multiplying only odd integers together (and no
evens) always yields an odd answer.
However, when adding, the rule is “an odd number of odds makes an odd.”
Summing an even number of odds produces an even, so the second choice is
FALSE.
The third choice is TRUE. Since 
w, x, y,
and 
z
are consecutive odd integers,
all can be defined in terms of 
w
:
w
= 
w
x
= 
w
+ 2
y
= 
w
+ 4
z
= 
w
+ 6
Thus, 
w
+ 
z
= 
w
+ (
w
+ 6) = 2
w
+ 6, and 
x
+ 
y
= (
w
+ 2) + (
w
+ 4) = 2
w
+ 6.
Therefore, 
w
+ 
z
= 
x
+ 
y
. Alternatively, try real numbers, such as 1, 3, 5, and
7. It is true that 1 + 7 = 3 + 5. This would hold true for any set of four

---

consecutive, ordered odd numbers tested.
4. 
(B).
No math is required to solve this problem. Note that the numbers from
1 to 100 include 50 even integers and 50 odd integers. The first few odds are
1, 3, 5, etc. The first few evens are 2, 4, 6, etc. Every even is 1 greater than its
counterpart (2 is 1 greater than 1, 4 is 1 greater than 3, 6 is 1 greater than 5,
etc.). Not only is Quantity B greater, it’s greater by precisely 50.
5. 
(D).
From the constraint, 
x
is positive and 
y
is negative. So Quantity A is
definitely positive: 
x
– 
y
= positive – negative = positive. Quantity B is the
square of a number, which cannot be negative. Quantity B could be zero, if,
for example, 
x
= 2 and 
y
= –2: (
x
+ 
y
)
2
= (2 + –2)
2
= (0)
2
.
In this case,
Quantity A is greater. But if 
x
= 100 and 
y
= –1, Quantity A is 100 – (–1) =
101 and Quantity B is (100 + –1)
2
= 99
2
, which is much greater (close to
10,000). The relationship cannot be determined from the information given.

---

6. 
(B).
This problem can be approached either conceptually or by picking
values. For the former, anytime a greater number is subtracted from a smaller
one, the result will be negative. Thus, 
a
– 
d
< 0. Conversely, since the product
of two negatives is positive, 
bc
> 0. Because any positive value is greater than
all negative values, Quantity B must be greater. Alternatively, picking simple
values for the variables would also lead to the same result.
7. 
8.
A positive integer that is a multiple of both 2 and 7 is a multiple of 14.
Since 140 is a multiple of 14, start listing there and count the terms in the
range: 140, 154, 168, 182, 196, 210, 224, 238.
Alternatively, note that 140 is the 10th multiple of 14, and 240/14 ≈ 17.143
(use the calculator). Therefore, the 10th through the 17th multiples of 14,
inclusive, are in this range. The number of terms is 17 – 10 + 1 = 8 (“add one
before you are done” for an inclusive list).
8. 
(B).
If 
ab
> 0, then 
a
and 
b
have the same sign. If 
bc
< 0, then 
b
and 
c
have
opposite signs. Therefore, 
a
and 
c
must have opposite signs. Therefore, 
ac
is
negative, so Quantity B is greater.
If you find the logic difficult (
a
and 
b
are same sign, 
b
and 
c
are opposite
signs, therefore 
a
and 
c
are opposite signs), you could make a quick chart of
the possibilities using plus and minus signs:
a b c
+ + –
First possibility, 
a
and 
c
have different signs.
– – +
Second possibility, 
a
and 
c
have different signs.
9. 
(B).
If 
abc
is negative, then either exactly 1 of or all 3 of the values 
a, b,
and 
c
are negative:
– – –
First possibility, all are negative.
– + +
Second possibility, 1 negative and 2 positives (order can
vary).
If 
b
2
c
is positive, then 
c
must be positive, since 
b
2
cannot be negative. If 
c
is
positive, eliminate the first possibility since all three variables cannot be
negative. Thus, only one of 
a, b,
and 
c
are negative, but the one negative
cannot be 
c
. Either 
a
or 
b
is negative, and the other is positive. It doesn’t
matter which one of 
a
or 
b
is negative—that’s enough to know that 
ab
is
negative and Quantity B is greater.

---

10. 
(D).
Note that 
is just another way to express “the average of
a
, 
b
, and 
c
.” The average of 
a
, 
b
, and 
c
would equal 
b
if the numbers were
evenly spaced (such as 1, 2, 3 or 5, 7, 9), but that is not specified. For
instance, the integers could be 1, 2, 57 and still satisfy the 
a
< 
b
< 
c
constraint. In that case, the average is 20, which is greater than 
b
= 2. The
relationship cannot be determined from the information given.
11. 
(E).
The goal in this question is to order 
a, a
2
, 
b
, and 
b
2
by magnitude.
Based on the original inequality 0 < 
a
< 
< 1, several things are true. First,
a
and 
are positive, and thus 
b
itself is positive. If 
< 1 and 
b
is positive,
multiply both sides of the inequality by 
b
to get 1 < 
b
, and then again to get 
b
< 
b
2
. (Multiplying by a positive value both times meant there was no need to
flip the inequality sign.) Two of the expressions in the answer choices have
been ordered: 
b
< 
b
2
. Eliminate choices that contradict this fact: choices (A)
and (B) are wrong.
Second, note that 
a
< 1 in the given inequality. Since 
a
is a positive number
less than 1, 
a
2
< 
a
. Show this either by multiplying both sides of 
a
< 1 by 
a
(again, no need to flip the inequality sign when multiplying by a positive
value) or by number properties (squaring positive fractions less than 1 always
yields a smaller fraction). Eliminate choices that contradict the fact that 
a
2
<
a
: choices (A) and (D) are wrong.
Now, what is the relationship between the terms with a and the terms with 
b
?
From the first paragraph above, 1 < 
b
. From the second paragraph (and the
given inequality), 
a
< 1. Put these together: 
a
< 1 < 
b
, or just 
a
< 
b
. Eliminate
the choices that contradict this fact: choices (A) and (C) are wrong.
At this point, choice (A) has been eliminated for three reasons, and (B), (C),
and (D) for one reason each. The only choice remaining is (E), so it must be
right by elimination.
(E) can be proven right by putting together the three separate inequalities (
b
<
b
2
) and (
a
2
< 
a
) and (
a
< 
b
) into a single inequality: 
a
2
< 
a
< 
b
< 
b
2
. This is
equivalent to choice (E): 
b
2
> 
b
> 
a
> 
a
2
.
12. 
(B).
The exact values of 
a, b, c
, and 
d
are unknown, as is whether they are
evenly spaced (do not assume that they are, just because the figure looks that
way). However, it is known that all of the variables are positive such that 0 <

---

a
< 
b
< 
c
< 
d
.
Because 
a
< 
b
and 
c
< 
d
and all the variables are positive, 
a
× 
c
< 
b
× 
d
. In
words, the product of the two smaller numbers is less than the product of the
two greater numbers. Quantity B is greater.
You could also try this with real numbers. You could try 
a
= 1, 
b
= 2, 
c
= 3,
and 
d
= 4, or you could mix up the spacing, as in 
a
= 0.5, 
b
= 7, 
c
= 11, 
d
=
45. For any scenario that matches the conditions of the problem, Quantity B is
greater.
13. 
(C).
This question asks for the greater number of distinct positive factors,
not prime factors. The approach to determine the number of distinct positive
factors is to create a chart that systematically lists all the combinations of two
positive integers that equal the number in question. When you find the same
pair in reverse order, the chart is done.