6-mavzu: Ikkinchi tartibli egri chiziqning kanonik tenglamasi

6-mavzu: Ikkinchi tartibli egri chiziqning kanonik tenglamasi.
Reja

1. 
   Aylana va uning kanonik tenglamasi.
   
2. 
   Ellips, giperbola, parabola va uning kanonik tenglamasi.
   
3. 
   Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning umumiy tenglamasi
   

Biz sodda ikkinchi tartibli egri chiziqlar aylana, ellips, giperbola, parabolalar va ularning xossalarini keltiramiz.

Aylana
Ma’lumki, tekislikda berilgan (tayin) nuqtadan baravar uzoqlikda joylashgan nuqtalar (tekislik nuqtalari) to’plami aylana, berilgan nuqta esa aylana markazi deyiladi.
Endi aylananing tenglamasini keltirib chiqarish maqsadida tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini va nuqtani olamiz. Ravshanki, bu nuqtadan masofada joylashgan nuqtalar (bunday nuqtalar to’plami aylana bo’ladi) o’zgaruvchi nuqtalar bo’ladi. Bunday nuqtalardan birini deylik. va nuqtalar orasidagi masofa

bo’ladi.²³
Keyingi tenglikdan
(1)
bo’lishi kelib chiqadi.

1-chizma

Shunday qilib, aylanada joylashgan o’zgaruvchi nuqtaning koordinata­lari va larni bog’lovchi tenglamaga keldik. Bu (1) tenglama aylananing sodda tenglamasi deyiladi, esa aylana radiusi deyiladi. Demak, aylananing tenglamasi markaz deb atalgan nuqtaga hamda radiusga bog’liq bo’lib, ular yordamida

aylananing tekislikdagi holati to’liq aniqlanadi.
Xususan, markazi koordinatalar boshida bo’lgan aylana tenglamasi quyidagicha

bo’ladi.
Masalan, markazi (-1,2), radiusi 5 ga teng bo’lgan aylananing tenglamasi

bo’ladi.
Aylana bilan umumiy bitta nuqtaga ega bo’lgan to’g’ri chiziq aylanaga o’tkazilgan urinma deyiladi.
Ushbu

aylananing nuqtasiga o’tkazilgan urinmaning tenglamasi quyidagi
(2)
ko’rinishga ega.
Masalan, ushbu aylananing nuqtasidan o’tuvchi urinmaning tenglamasi
, ya’ni
bo’ladi.
Ellips
Tekislikda ikkita tayin nuqtalarni olaylik. Tekislikning bu nuqtalargacha bo’lgan masofalari yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’ladigan nuqtalari to’plami (nuqtalarning geometrik o’rni) ellips deyiladi.
Endi ellipsning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Ta’rifda keltirilgan tayin nuqtalardan birini , ikkinchisini orqali belgilaymiz.
Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha quramiz:
va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni abssissa o’qi ( o’qi), kesmaning o’rtasidan o’tuvchi hamda abssissa o’qiga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni ordinata o’qi ( o’qi) deb olamiz. (2-chizma)

2-chizma

Aytaylik, va nuqtalar orasidagi masofa ga teng bo’lsin. U holda bu nuqtalarning koordinatalari mos ravishda va bo’ladi: , .

Odatda, va nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi.
Ellipsda ixtiyoriy nuqtani olaylik. Unda ellips ta’rifiga binoan va masofalar yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’ladi. Bu o’zgarmas sonni deylik .
Demak,
. (3)
Ikki nuqta orasidagi masofa formulasidan foydalanib topamiz:
,
.
Unda (3) ga ko’ra

bo’ladi.
Bu tenglikni quyidagicha

yozib, uning ikki tomonini kvadratga ko’tarsak, unda

bo’ladi. Bunda esa

ya’ni
,

bo’lishi kelib chiqadi. Keyingi tenglikning ikki tomonini kvadratga ko’tarish natijasida

ya’ni

hosil bo’ladi.²³
Ravshanki, ya’ni bo’lganligi uchun bo’ladi. Uni bilan belgilaymiz:
.
Natijada

bo’lib, undan
(4)
bo’lishi kelib chiqadi.
Shunday qilib ellipsdagi o’zgaruvchi nuqtaning koordinatalari va larni bog’lovchi tenglama hosil bo’ldi. Bu (4) tenglama ellipsning sodda tenglamasi deyiladi.
Ellips tenglamasi (4) da ni ga, ni ga almashtirilganda (4) tenglama o’zgarmaydi. Demak, ellips (yopiq egri chiziq) koordinata o’qlariga nisbat simmetrik joylashgan.
Agar ( 4) tenglamada deyilsa, unda

bo’ladi. Demak, ellips o’qini ikki , nuqtalarda kesadi.
Agar (4) tenglamada deyilsa, unda

bo’ladi. Demak, ellips o’qini ikki , nuqtalarda kesadi.
Odatda, nuqtalar ellipsning uchlari deyiladi. kesma ellipsning katta o’qi, kesma ellipsning kichik o’qi deyiladi.
Ravshanki, kesmaning uzunligi , kesma-ning uzunligi esa ga teng. Demak, (4) tenglamada ellips katta yarim o’qi, esa kichik yarim o’qi bo’ladi.
Ushbu

tenglama bilan berilgan ellipsni qaraylik. Bu ellipsning fokuslari orasidagi masofa ga teng.
Ushbu
(5)
miqdor ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Ma’lumki, . Demak, ellipsning ekssentrisiteti uchun

bo’ladi. (agar bo’lsa, bo’lib, ellips aylana bo’lib qoladi).
Ellipsning ekssentrisiteti ellipsning siqilish darajasini bildiradi. Haqiqatdan ham, (4) munosabatdan, bo’lishini e’tiborga olib topamiz:
,

Bu tenglikdan ko’rinadiki, ning ortib borishi bilan nisbat kamaya boradi, binobarin ellips tortila boradi.
1-Misol. Katta o’qi 10 ga, eksseptrisiteti 0,8 ga teng bo’lgan ellipsning tenglamasi topilsin.
◄Shartga ko’ra . Demak, . Ma’lumki ekssentrisitet
.
Unda bo’ladi. bo’lishidan

ekanligi kelib chiqadi. Izlanayotgan ellipsning tenglamasi

bo’ladi.►