7 – Ma’ruza. Chiziqsiz tenglamalarni yechish

8) Nyuton metodining yaqinlashishi. Oddiy haqiqiy ildiz. Faraz qilamiz
(1)
tenglama oddiy haqiqiy ildizga ega bо‘lsin, va bо‘lsin. Faraz qilamiz funksiya ildizning yetarlicha yaqin atrofida ikki marta uzluksiz hosilalarga ega bо‘lsin.
(2)
Nyuton metodini tadqiq etamiz. Eng avval (2) ni oddiy iteratsiya metodining xususiy holi sifatida qaraymiz:
(3)
(4)
Oldin, biz (3)-metodning yaqinlashishi uchun ildizning yetarlicha yaqin atrofida
(5)
tengsizlikning bajarilishi yetarli ekanligini kо‘rsatgan edik.
(4)- funksiya uchun

munosabat о‘rinli.
Agar , ning ildizi bо‘lsa, unda bо‘ladi. Shu sababli ildizning shunday atrofi borki (5)-tengsizlik bajariladi. Demak boshlang‘ich yaqinlashishni shunday tanlab olish mumkinki Nyuton metodi yaqinlashadi. Bu yaqinlashish oddiy yaqinlashish bо‘lmasdan u aslida kvadratik yaqinlashishdir.
Quyidagi teorema Nyuton metodining kvadratik yaqinlashuvchi ekanligini kо‘rsatadi.
1-teorema. Faraz qilamiz (1)-tenglamaning oddiy haqiqiy ildizi bо‘lib

atrofda bо‘lsin. Faraz qilamiz , atrofda uzluksiz va
(6)
bо‘lib ,
(7)
bо‘lsin. Unda agar bо‘lsa, (2)-Nyuton metodi yaqinlashadi va xatolik uchun
(8)
baho о‘rinli, bunda

Tayanch iboralar:

• 
  Ildiz (yechim).
  
• 
  Oraliqni teng ikkiga bо‘lish.
  
• 
  Ildizlarni ajratish.
  
• 
  Ildizga ketma-ket yaqnlashish.
  
• 
  Taqribiy ildizning xatoligi.
  
• 
  Yaqinlashish tezligi.
  
• 
  Interpolyatsion metod.
  

Tekshirish savollar:

1. 
   Yechim nima?
   
2. 
   Taqribiy yechish nima?
   
3. 
   Xatolik nima?
   
4. 
   Iteratsion metod nimadan iborat?
   
5. 
   Biseksiya metodi nimadan iborat?
   
6. 
   Oddiy iteratsiya metodi qanday?
   
7. 
   Nyuton metodi nimadan iborat?
   
8. 
   Interpolyatsiya metodi nimadan iborat?
   
9. 
   Yaqinlashish qanday aniqlanadi?
   
10. 
    Qaysi metod tez yaqinlashadi?
    

Adabiyotlar:

1. 
   A.A. Samarskiy, A.V. Gulin, Chislenniye metodi. Uk.Kul., M., Nauka., 1989.
   
2. 
   M.I. Israilov., Hisoblash metodlari, Toshkent, о‘qituvchi., 1988.