7-§. Shartli ehtim ollar. Hodisalarning bog‘Iiqsizligi Shartli ehtimolning ta’rifini kiritishdan oldin bir qancha

^ = W
= l
р Щ
munosabatlaming o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Agar 
Al9A2 
birgalikda bo‘lmagan hodisalar bo‘lsa (А,- A1 = (Z>\ u holda AtB va 
A2B hodisalar ham birgalikda emas. Demak,
p ( л л- А ч _ P(AB+A2B) _ P(A]B)+P(A2B) _ P{AXB) P(A2B) _
1 
V
P(B) 
P(B) 
P(B) 
P(B)
■ 
Ф
ф
Ш
Щ
т
 
■
ya’ni PB chekli additiv.
Л , , Л 1>. . . , Л п , . . .
h o d isa la r k e tm a -k e tlig i 
A ll+I a A n , n
= 1,2,... va
‘■A
p j Alt= 0  (ya’ni A/f >
1 0 )  
shartlami qanoatlantirsin. U holda {BAn}
n=1
28

---

ketma-ketlik uchun ham BAn+la B A lf va p]&4w= 0 munosabatlar 
o‘rinIi bo'ladi va P ning nolda nzluksizligiga ko‘ra
»-»CO 
H->co r\D f 
r\£>) Ц-+СО
Bundan 3-§ dagi 1-teoremaga asosan PB uchun КЗ aksiomaning 
o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Demak, PB fimksiya (Qjf) o‘lchovli fazoda aniqlangan ehtimol 
o‘lchovi ekan.
H odisalarning bog‘liqsizligi. Hodisalarning bog'liqsizligi ehti­
mollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri hisoblanadi. Bu 
xossa ehtimollar nazariyasini o‘lchovli fazolaming umumiy nazariya- 
sidan ajratib turadigan o‘ziga xos xususiyatini aniqlab beradi.
Agar P(A / B) = P(A) tenglik bajarilsa, u holda A hodisa В 
hodisaga bog‘liq emas deyish tabiiydir. Agar P(A}> 0 bo‘lsa, u holda 
P{B / A) shartli ehtimol mavjud va ko'paytirish teoremasiga ko‘ra
P(A) 
P(A) 
4 4
Demak, A hodisaning В ga bog4liqsizligidan В hodisaning ham 
A ga bog‘liqsizligi kelib chiqadi, ya’ni A va В hodisalarning 
bogMiqsizligi simmetriklik xususiyatiga ega ekan.
Agar A 
va В  hodisalar bog‘Iiqsiz bo‘lsa, u holda 
P{AB) = P(A)P(B) tenglik o‘rinli va bu tenglik A va В  hodisalarning 
ehtimollari nol bo‘lganida ham ma’noga ega. Natijada biz ushbu 
ta’rifga kelamiz.
6-ta’rif. Agar
P(AB) = P(A)P(B) 
tenglik o'rinli boblsa A va В hodisalar bog‘liqsiz deyiladi.
21-misol. Tajriba simmetrik tangani 2 marta tashlashdan iborat. 
A orqali birinchi tashlanganda gerb chiqish hodisasini, В orqali esa 
tanga 
ikkinchi 
marta 
tashlanganda 
gerb 
chiqish hodisasini 
belgilaymiz. U holda elementar hodisalar maydoni i3={gg,gr,rg,rr}, 
/4={gg,gr} va £={gg,rg} to‘plamIardan iborat bo‘ladi. Agar elementar 
hodisalarning har biri 1 / 4 ehtimolga ega ekanligini hisobga olsak, u
29

---

holda 
P(A) = 1 /2 , P(B) = 1 / 2, />(ЛД) = 1 /4
bo‘ladi. 
Demak, 
P(AB) = P(A)P(B) va 
hodisalar bogiiqsiz.
7-ta’rif. Al,A2,...,An hodisalar berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy 
1 < /, < i2 < ... < ik < n\ 2 < , к й п  sonlar uchun
-
р ц )p(A h)...p( щ
tengliklar o ‘rinli bo‘Isa, u holda A],A27...,AII birgalikda bog‘Iiqsiz 
hodisalar deyiladi.
7-ta’rifdan Av A2,,.,, An? birgalikda bog‘liqsiz hodisalar bo‘Isa, u
holda ularning ixtiyoriy q ism 'to cplamidagi A
j
9A
j
^9..*9A^ hodisalar
ham birgalikda bog‘liqsiz ekanligi kelib chiqadi. Ushbu misol hodisa­
larning birgalikda bogMiqsizligi ularning juA-jufti bilan bogMiqsiz- 
ligiga nisbatan kuchliroq shart ekanligini ko‘rsatadi.
22-misol. Tajriba simmetrik tangani 2 marta tashlashdan iborat
bo'lsin (20-misolga qarang). 
A = { g g ,g r } , B = { g g ,r g )  
va
C = { g g , r r } — tanga ikki marta tashlaganda ikki marta bir xil tomon
tushish hodisasini belgilaymiz. Agar barcha elementar hodisalar bir xil 
ehtimolga ega bo‘lsa, u holda
P(A) = I P(B) = I P(C) = i ; P(AB) = P(AC) = P (5 C ) = 1
ammo P(ABC) = ^ * ^ = P(A)P(B)P(C), ya’ni A,B,C  hodisalar juft-
jufti bilan bog‘liqsiz, lekin ular birgalikda bog'liqsiz emas.
Ehtimollar nazariyasida ko'pincha bog'liqsiz hodisalar bilan 
birga hodisalar sinflarining bog'liqsizligini ham qarashga to 'g 'ri 
keladi.