7-Mavzu: Chiziqli dasturlash. Chiziqli dasturlash algoritmlari Reja: Chiziqli dasturlash

Chiziqli dasturlashning asosiy teoremalari.
Chiziqli dasturiy muammolarni echish usullarini asoslash uchun ularning analitik isbotlarini hisobga olmagan holda bir qator muhim teoremalarni tuzamiz. Har bir teoremaning ma'nosini tushuntirish oldingi kichik bo'limda berilgan ZLP masalasini geometrik izohlash tushunchasiga yordam beradi.

Ammo, birinchi navbatda, kelgusida muhokama qilish uchun muhim bo'lgan ba'zi tushunchalarni eslaymiz.

Agar n o'zgaruvchisi (m N o'zgaruvchilar (m
Maxsus holatda, cheklash tizimiga x1 va x2 ikkita o'zgaruvchilar kiritilgan bo'lsa, ushbu to'plam tekislikda ko'rsatilishi mumkin. Mumkin echimlar (x1, x2 ≥ 0) haqida gaplashayotganimiz sababli, tegishli to'plam Karteziya koordinatalari tizimining birinchi choragida joylashgan bo'ladi. Ushbu to'plam yopiq (ko'pburchak), ochiq (cheksiz ko'pburchak maydon) bo'lishi mumkin, bitta nuqtadan iborat va nihoyat, cheklash-tengsizlik tizimi qarama-qarshi bo'lishi mumkin.

Teorema 2. Agar chiziqli dasturlash masalasi eng maqbul echimga ega bo'lsa, u mumkin bo'lgan echimlar to'plamining burchak nuqtalarining bittasiga (ikkitasiga) to'g'ri keladi. 2-teoremadan biz optimal echimning o'ziga xosligi buzilishi mumkin, degan xulosaga kelishimiz mumkin va agar echim noyob bo'lmasa, bunday son-sanoqsiz optimal echimlar (tegishli burchak nuqtalarini bog'laydigan segmentning barcha nuqtalari) bo'ladi.

Teorema 3. Chiziqli dasturlash muammosining har bir qabul qilinadigan asosiy echimi uchun qabul qilinadigan echimlar sohasining burchak nuqtasi mos keladi va aksincha.
2 va 3-teoremalarning natijasi, cheklash tenglamalari yordamida berilgan (yoki qisqartirilgan) chiziqli dasturlash masalasining eng maqbul echimi (optimal echimlar) cheklash tizimining ruxsat etilgan asosiy echimi (qabul qilinadigan asosiy echimlar) bilan mos tushadi.
Shunday qilib, ZLPning optimal echimini cheklangan sonli mumkin bo'lgan asosiy echimlar orasida izlash kerak. Ishlab chiqarishni rejalashtirishda resurslardan optimal foydalanish
Ushbu sinf vazifalarining umumiy ma'nosi quyidagicha.
Kompaniya n turli xil mahsulotlarni ishlab chiqaradi. Ularni ishlab chiqarish uchun har xil turdagi resurslar (xom ashyo, materiallar, ish vaqti va boshqalar) talab qilinadi. Resurslar cheklangan, rejalashtirish davrida ularning zaxiralari mos ravishda b1, b2, ..., bm shartli birliklardir.
Aij texnologik koeffitsientlari ham ma'lum, ular jth tipidagi mahsulotning birligini ishlab chiqarish uchun qancha itr manbadan zarur bo'lganligini ko'rsatadi.

Kompaniya tomonidan j-chi turdagi mahsulotlarni sotishda olingan foyda cj ga teng.

Rejalashtirish davrida aij, bi va cj qiymatlari doimiy bo'lib qoladi. Bunday ishlab chiqarish rejasini tuzish kerak, uni amalga oshirishda kompaniyaning foydasi katta bo'ladi. Keyingi, biz ushbu sinfning vazifasiga oddiy misol keltiramiz. Kompaniya xokkey tayoqchalari va shaxmat anjomlari ishlab chiqarishga ixtisoslashgan. Har bir klub kompaniyaga $ 2, har bir shaxmat to'plamiga $ 4 foyda keltiradi. Bir tayoqni ishlab chiqarish uchun A bo'limida to'rt soat va B bo'limida ikki soat ishlash kerak. Shaxmat to'plami A bo'limida olti soat, B bo'limida olti soat va S bo'limida bir soat sarflanadi. A qismning mavjud ishlab chiqarish hajmi 120 n. kuniga soat, B sektsiyasi - 72 n-soat va C qismi - 10 n-soat.
Daromadni ko'paytirish uchun kompaniya har kuni qancha klub va shaxmat to'plamlarini ishlab chiqarishi kerak? Ushbu sinfning vazifalari uchun shartlar ko'pincha jadval shaklida keltirilgan (1-jadvalga qarang).
1-jadval

Chiziqli dasturlash usullari. Iqtisodiyotda ko'pincha duch keladigan ko'plab ekstremal muammolarni hal qilish uchun chiziqli dasturlash usullaridan foydalaniladi. Bunday muammolarni hal qilish ba'zi o'zgaruvchilar funktsiyalarining haddan tashqari qiymatlarini (maksimal va minimal) topish uchun kamayadi.
Chiziqli dasturlash o'rganilayotgan hodisalar o'rtasidagi bog'liqlik mutlaqo funktsional bo'lganda, chiziqli tenglamalar tizimini (tenglamalar va tengsizliklarga o'tish bilan) echishga asoslangan. U o'zgaruvchilarning matematik ifodasi, ma'lum bir tartib, hisoblar ketma-ketligi (algoritm), mantiqiy tahlil bilan tavsiflanadi.
U faqat o'rganilgan o'zgaruvchilar va omillar matematik aniqlik va miqdoriy cheklovga ega bo'lgan holatlarda, hisob-kitoblarning ma'lum ketma-ketligi omillarning o'zaro bir-biriga mos kelishiga olib kelganda, hisoblardagi mantiq, matematik mantiq o'rganilayotgan hodisaning mohiyatini mantiqiy asosli tushunish bilan birlashtirilganda qo'llanila. Ushbu usulni sanoat ishlab chiqarishda qo'llash, masalan, mashinalarning, yig'ishmalarning, ishlab chiqarish liniyalarining (mahsulotlarning ushbu assortimenti va boshqa belgilangan qiymatlar uchun) maqbul jami mahsuldorligi hisoblanadi, materiallarni oqilona kesish muammosi (ish qismlarining maqbul rentabelligi bilan) hal qilinadi.

Chiziqli dasturlash yordamida hal qilingan barcha iqtisodiy muammolar muqobil echimlar va ma'lum cheklov shartlari bilan ajralib turadi. Bunday muammoni hal qilish uchun barcha mumkin bo'lgan (alternativ) variantlardan eng yaxshisini, optimalini tanlash kerak. Iqtisodiyotda chiziqli dasturlash usulidan foydalanishning ahamiyati va ahamiyati shundaki, maqbul variant juda ko'p sonli alternativ variantlardan tanlanadi. Bunday muammolarni hal qilish uchun boshqa usullardan foydalanish deyarli mumkin emas.

Adabiyotlar:
Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн «Алгоритмы. Построение и анализ» Вильямс, 2013 год, 1324 стр. Издание 3-е
http://www.math.nsc.ru/LBRT/k5/OR-MMF/Kleinberg_Tardoc_algoritmy_razrabotka_i_primenenie.pdf
https://e-maxx.ru/bookz/files/cormen.pdf
https://studfile.net/preview/5535319/page:24/.