8-ma’ruza. Normalangan fazoning qism fazosi va faktor fazosi (2 soat) Darsning rejasi

O’tilgan mavzular bo’yicha (8 daqiqa): talabalarning o’tgan ma’ruzada ko’rsatilgan o’z-o’zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish natijasida talabalarning bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob berishi ko’zda tutiladi).


Yangi dars mavzusining bayoni (55 daqiqa):
Chiziqli normalangan fazo ta’rifi va unga misollar. Chiziqli fazolarda elementlarning bir-biriga yaqinligi degan tushuncha yo‘q. Ko‘plab amaliy masalalarni hal qilishda elementlarni qo‘shish va ularni songa ko‘paytirish amallaridan tashqari, elementlar orasidagi masofa, ularning yaqinligi tushunchasini kiritishga to‘g‘ri keladi. Bu bizni normalangan chiziqli fazo tushunchasiga olib keladi. Normalangan fazolar nazariyasi S.Banax va boshqa matematiklar tomonidan rivojlantirilgan.
26.1-ta’rif. Bizga chiziqli fazo va unda aniqlangan funksional berilgan bo‘lsin. Agar quyidagi uchta shartni qanoatlantirsa, unga norma deyiladi:
1)
2) ;
3) .
26.2-ta’rif. Norma kiritilgan chiziqli fazo chiziqli normalangan fazo deyiladi va elementning normasi orqali belgilanadi.
Agar - normalangan fazoda elementlar jufti uchun

sonni mos qo‘ysak, funksional metrikaning 1-3 aksiomalarini qanoatlantiradi (26.1-ta’rifga qarang). Metrika aksiomalarining bajarilishi normaning 1-3 shartlaridan bevosita kelib chiqadi. Demak, har qanday chiziqli normalangan fazoni metrik fazo sifatida qarash mumkin. Metrik fazolarda o‘rinli bo‘lgan barcha tasdiqlar (ma’lumotlar) chiziqli normalangan fazolarda ham o‘rinli.
chiziqli normalangan fazoda ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
26.3-ta’rif. Biror va ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha larda tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik elementga yaqinlashadi deyiladi.
26.4-ta’rif. Agar ixtiyoriy son uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha va larda tengsizlik bajarilsa, - fundamental ketma-ketlik deyiladi.
26.5-ta’rif. Agar chiziqli normalangan fazodagi ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda to‘la normalangan fazo yoki Banax fazosi deyiladi.
Bu ta’rifni quyidagicha aytish mumkin: Agar , metrik fazo to‘la bo‘lsa, u holda to‘la normalangan fazo deyiladi.
Chiziqli normalangan fazolarga misollar keltiramiz.