Abakus yordamida sonlarni ko paytirish qoidalari

ABAKUS YORDAMIDA SONLARNI KO PAYTIRISH QOIDALARI

Reja:

1. 
   Abakusdan foydalanish
   
2. 
   Abakus yordamida sonlarni ko paytirish
   
3. 
   Abakus yordamida sonlarni ko paytirish qoidalari
   

Abakus (ko'plik abaci yoki abakuslar), shuningdek, a deb nomlangan hisoblash ramkasi, ishlatilgan hisoblash vositasi qadimgi Yaqin Sharq, Evropa, Xitoy va Rossiya, yozuvlarni qabul qilishdan bir necha asr oldin Arab raqamlar tizimi.^[1] Abakusning aniq kelib chiqishi hali ham noma'lum. Abakus asosan bir qator qator harakatlanuvchi boncuklardan yoki raqamlardan iborat boshqa narsalardan iborat. Ikkala raqamdan bittasi o'rnatiladi va ikkinchi raqam (masalan, qo'shimcha) yoki kamdan-kam hollarda kvadrat yoki kub ildiz bilan bog'liq operatsiyani amalga oshirish uchun boncuklar manipulyatsiya qilinadi.

Dastlabki marotaba munchoqlar qatori tekis yuzada bo'shashgan yoki oluklarda siljigan bo'lishi mumkin. Keyinchalik boncuklar tezroq manipulyatsiya qilish uchun ramkaga o'rnatilgan qandaydir tayoqchalarga siljish uchun qilingan. Abakuslar hali ham amalga oshiriladi, ko'pincha a bambuk simlarga siljigan boncuklar bilan ramka. Qadimgi dunyoda, ayniqsa kiritilishidan oldin pozitsion yozuv, abakuslar amaliy hisoblash vositasi bo'lgan.
Abakusning o'ziga xos zamonaviy dasturlari mavjud. Ba'zi naqshlar, masalan, o'nga bo'lingan boncuklardan tashkil topgan boncuk ramkasi, asosan o'rgatish uchun ishlatiladi arifmetik, ular mashhur bo'lib qolsa ham postsovet davlatlari vosita sifatida. Boshqa dizaynlar, masalan, yaponlar soroban, hatto bir necha raqamli raqamlarni o'z ichiga olgan amaliy hisob-kitoblar uchun ishlatilgan. Har qanday abakus dizayni uchun odatda to'rtta asosiy operatsiyalarni o'z ichiga olishi mumkin bo'lgan hisob-kitoblarni amalga oshirishning turli xil usullari mavjud kvadrat va kub ildizlari. Ushbu usullarning ba'zilari bo'lmagan usullar bilan ishlaydi.tabiiy raqamlar (kabi raqamlar 1.5 va ​³⁄₄).
Garchi bugungi kunda kalkulyatorlar va kompyuterlar odatda abakus o'rniga ishlatiladi, abakuslar hali ham ba'zi mamlakatlarda keng tarqalgan bo'lib qolmoqda. Sharqiy Evropaning ba'zi joylarida, Rossiya, Xitoy va Afrikadagi savdogarlar, savdogarlar va xizmatchilar abakuslardan foydalanadilar va ular hanuzgacha bolalarga arifmetikani o'rgatishda foydalanadilar.^[1] Ko'rish qobiliyati buzilganligi sababli kalkulyatordan foydalana olmaydigan ba'zi odamlar abakusdan foydalanishlari mumkin.
So'zning ishlatilishi abakus milodiy 1387 yilgacha bo'lgan vaqt, a O'rta ingliz ish so'zni qarz oldi Lotin sandbord abakusini tasvirlash. Lotin so'zi paydo bo'ldi qadimgi yunoncha gáb (abax) bu to'rtburchaklar taxta yoki taxtaning har qanday bo'lagi asossiz va noto'g'ri ekanligini anglatadi.^[2][3][4] Shu bilan bir qatorda, etimologiyaga oid qadimiy matnlarga murojaat qilmasdan, uning ma'nosi "chang bilan sepilgan to'rtburchak lavha" degan ma'noni anglatadi,^[5] yoki "chang bilan qoplangan chizilgan taxta (matematikadan foydalanish uchun)"^[6] (lotin tilining aniq shakli, ehtimol, aks ettiradi genetik shakl yunoncha so'zdan, aἄβoκ abakoslar). Toz ta'rifi bilan to'kilgan stol mashhur bo'lsa-da, ba'zilari bu tasdiqlanmagan deb, rozi emas.^{[7][nb 1]} Yunoncha gáb o'zi, ehtimol, a ning qarzidir Shimoliy-g'arbiy semit tili, ehtimol Finikiyalik va bilan bog'laning Ibroniycha so'z ʾĀbaq (A) Yoki "chang" (Injildan keyingi ma'noda "yozuv yuzasi sifatida ishlatiladigan qum" ma'nosini anglatadi).^[8]
Ikkalasi ham abakuslar^[9] va abaci^[9] (yumshoq yoki qattiq "c") ko'plik shaklida ishlatiladi. Abakusdan foydalanuvchi an deb nomlanadi abakist.
Miloddan avvalgi 2700–2300 yillarda birinchi paydo bo'lgan Shumer abakus, ketma-ket ustunlar jadvali, ularning navbatdagi kattaligi tartiblarini chegaralagan eng kichik sanoq tizimi.^[11]
Ba'zi olimlar undagi belgiga ishora qilmoqdalar Bobil mixxati abakus vakili tomonidan olingan bo'lishi mumkin.^[12] Bu eski Bobilning e'tiqodi^[13] Carruccio kabi olimlarning aytishicha, qadimgi bobilliklar "abakusni qo'shish va ayirboshlash operatsiyalari uchun ishlatgan bo'lishi mumkin; ammo bu ibtidoiy asbobdan yanada murakkab hisob-kitoblar uchun foydalanish qiyin bo'lgan".^[14]
Misrlik
Abakusdan foydalanish Qadimgi Misr yunon tarixchisi tomonidan qayd etilgan Gerodot Misrliklar toshlarni o'ngdan chapga, yunoncha chapdan o'ngga qarab yo'nalishda harakat qilishgan deb yozadi. Arxeologlar hisoblagich sifatida ishlatilgan deb taxmin qilingan turli o'lchamdagi qadimiy disklarni topdilar. Biroq, ushbu asbobning devor tasvirlari topilmagan.^[15]
Fors tili
Davomida Ahamoniylar imperiyasi, miloddan avvalgi 600 yil atrofida forslar birinchi marta abakusdan foydalanishni boshladilar.^[16] Ostida Parfiya, Sosoniyalik va Eron imperiyalar, olimlar atrofdagi mamlakatlar bilan bilim va ixtirolarni almashishga e'tiborlarini qaratdilar - Hindiston, Xitoy, va Rim imperiyasi, u boshqa mamlakatlarga eksport qilingan deb o'ylashganda.
Yunoncha

Salamis Tabletining dastlabki fotosurati, 1899 yil. Asl nusxasi marmar va Afinadagi Milliy Epigrafiya muzeyi tomonidan saqlanadi.

Yunoniston abakusidan foydalanishga oid dastlabki arxeologik dalillar miloddan avvalgi V asrga tegishli.^[17] Shuningdek Demosfen (Miloddan avvalgi 384 - Miloddan avvalgi 322 yillar) sizning hisobingiz uchun juda qiyin hisob-kitoblar uchun toshlardan foydalanish zarurligi haqida gapirdi.^[18][19] Tomonidan sahnalashtirilgan Aleksis miloddan avvalgi IV asrdan boshlab buxgalteriya hisobi uchun abakus va toshlar eslatib o'tilgan va ikkalasi ham Diogenlar va Polibiyus abakusdagi toshlar singari goh ko'proq, goh kamroq deb turgan erkaklarni eslang.^[19] Yunoncha abakus - bu matematik hisob-kitoblar uchun yog'och yoki metall kichik hisoblagichlar bilan oldindan o'rnatilgan yog'och yoki marmar stol. Ushbu yunon abakusi Axemenid Forsida, Etrusk tsivilizatsiyasida, Qadimgi Rimda va Frantsiya inqilobigacha G'arbiy nasroniylar dunyosida foydalanilgan.
Yunoniston orolidan topilgan planshet Salamislar milodiy 1846 yilda (mil Salamis tabletkasi ), miloddan avvalgi 300 yilga tegishli bo'lib, bu hozirgi kungacha topilgan eng qadimgi hisoblash taxtasi hisoblanadi. Bu 149 sm (59 dyuym) uzunlikdagi, kengligi 75 sm (30 dyuym) va qalinligi 4,5 sm (2 dyuym) bo'lgan oq marmardan yasalgan plita bo'lib, ularning ustiga 5 ta belgi qo'yilgan. Tabletkaning markazida vertikal chiziq bilan teng ravishda bo'lingan 5 ta parallel chiziqlar to'plami joylashgan bo'lib, ular eng pastki gorizontal chiziq va bitta vertikal chiziq kesishmasida yarim doira bilan yopilgan. Ushbu chiziqlar ostida gorizontal yoriq bilan bo'linadigan keng joy mavjud. Ushbu yoriq ostida yana o'n bitta parallel chiziqlar guruhi joylashgan bo'lib, ular yana ularga perpendikulyar bo'lgan chiziq bilan ikki qismga bo'lingan, ammo chorrahaning yuqori qismida yarim doira bilan joylashgan; uchinchi, oltinchi va to'qqizinchi chiziqlar vertikal chiziq bilan kesishgan joyda xoch bilan belgilanadi.^[20] Shu vaqt oralig'idan boshlab Darius Vase 1851 yilda topilgan. Rasmlar bilan yopilgan, shu qatorda stol ustidagi hisoblagichlarni boshqa qo'li bilan manipulyatsiya qilish paytida bir qo'lida mum tabletkasini ushlab turgan "xazinachi".^[18]
Xitoy
Asosiy maqola: Suanpan
Xitoy abakusi (suanpan ) (rasmda ko'rsatilgan raqam 6,302,715,408)Xitoy abakusining dastlabki yozma hujjatlari miloddan avvalgi II asrga to'g'ri keladi.^[21]
Deb nomlanuvchi Xitoy abakusi suanpan (算盤 / 算盘, lit. "Hisoblash laganda"), odatda 20 sm (8 dyuym) balandlikda va operatorga qarab har xil kenglikda bo'ladi. Odatda etti tayoqchadan ko'proq bo'ladi. Yuqori qavatda har bir novda ustida ikkita boncuk, pastki qismida esa beshta boncuk bor. Boncuklar odatda yumaloq bo'lib, a dan yasalgan qattiq yog'och. Boncuklar nurni yuqoriga yoki pastga siljitish orqali hisoblanadi; nurga qarab harakatlanuvchi boncuklar hisobga olinadi, undan uzoqroq bo'lganlar esa hisobga olinmaydi.^[22] Yuqori boncuklardan biri 5, pastki boncuklardan biri 1. Har bir novda ostida joy qiymatini ko'rsatuvchi raqam bor. suanpan barcha munchoqlarni markazdagi gorizontal nurdan uzish uchun gorizontal o'q bo'ylab tez harakatlanish bilan bir zumda boshlang'ich holatiga qaytarish mumkin.
Davomida Xitoy abakusining prototipi paydo bo'ldi Xan sulolasi va boncuklar oval shaklida. The Song Dynasty va ilgari zamonaviy abakusga o'xshash 1: 4 turidagi yoki to'rtta boncukdan foydalanilgan, shu jumladan yaponcha uslubdagi abakus deb nomlanuvchi boncuklar shakli.^{[iqtibos kerak ]}
Erta Min sulolasi, abakus 1: 5 abakus shaklida paydo bo'la boshladi. Yuqori pastki qismida bitta, pastki qismida beshta boncuk bor edi.^{[iqtibos kerak ]}
Oxirgi Min sulolasida abakus uslublari 2: 5 ko'rinishida paydo bo'ldi.^{[iqtibos kerak ]} Yuqori pastki qismida ikkita boncuk bor edi, pastki qismida esa beshta boncuk bor edi.
Har xil hisoblash texnikasi ishlab chiqilgan Suanpan samarali hisob-kitoblarni amalga oshirish. Hozirda o'quvchilarga undan qanday foydalanishni o'rgatadigan maktablar mavjud.
Uzoq varaqda Qingming festivali paytida daryo bo'yida tomonidan bo'yalgan Chjan Zeduan davomida Qo'shiqlar sulolasi (960–1297), a suanpan daftarchada hisob daftarchasi va shifokorning retseptlari yonida yaqqol ko'rinib turadi aptekachi (Feibao).
O'xshashligi Rim abakusi xitoyliklardan biri ikkinchisini ilhomlantirishi mumkin edi, degan fikrni ilgari suradi, chunki bu o'rtasidagi savdo munosabatlarining ba'zi dalillari mavjud Rim imperiyasi va Xitoy. Biroq, hech qanday to'g'ridan-to'g'ri aloqani namoyish etish mumkin emas va abakuslarning o'xshashligi tasodifiy bo'lishi mumkin, ikkalasi ham oxir-oqibat qo'lda beshta barmoq bilan hisoblashdan kelib chiqadi. Rim modeli (eng zamonaviy koreys va. Kabi) Yapon ) o'nlik kasrga 4 plyus 1 boncuk, standart suanpan bor 5 plyus 2. Aytgancha, bu a bilan ishlatishga imkon beradi o'n oltinchi raqamli tizim (yoki biron bir narsa) tayanch an'anaviy xitoylik vazn o'lchovlari uchun ishlatilgan bo'lishi mumkin 18). (Xitoy, koreys va yapon modellaridagi kabi simlar ustida ishlash o'rniga, Rim modelidagi munchoqlar yivlarda yugurib, ehtimol arifmetik hisob-kitoblarni ancha sekinlashtirmoqda.
Ning mumkin bo'lgan yana bir manbai suanpan xitoylik tayoqlarni hisoblash bilan ishlaydigan qaysi o'nlik tizim ammo tushunchasi yo'q edi nol joy egasi sifatida. Nol, ehtimol, xitoyliklarga kiritilgan Tang sulolasi (618-907) sayohat paytida Hind okeani va Yaqin Sharq bilan bevosita aloqani ta'minlagan bo'lar edi Hindiston, ularga nol va the tushunchalarini olishga imkon beradi kasr hind savdogarlari va matematiklaridan.
Rim
Asosiy maqola: Rim abakusi

Nusxasi Rim abakusi

Yunonistonda bo'lgani kabi qadimgi Rimda ham hisoblashning oddiy usuli hisoblagichlarni silliq stol ustiga siljitish edi. Dastlab toshlar (toshlar) ishlatilgan. Keyinchalik va o'rta asrlarda Evropada, jetonlar ishlab chiqarilgan. Belgilangan chiziqlar birliklar, beshliklar, o'nliklar va boshqalarni ko'rsatib o'tgandek Rim raqami tizim. Ushbu "qarshi kasting" tizimi so'nggi Rim imperiyasida va O'rta asrlarda Evropada davom etdi va XIX asrga qadar cheklangan foydalanishda davom etdi.^[23] Sababli Papa Silvestr II Abakusni modifikatsiyalari bilan qayta tiklash, Evropada XI asr davomida yana keng qo'llanila boshlandi^[24][25] Rimlarning an'anaviy hisoblash taxtalaridan farqli o'laroq, bu abakus simlarda boncuklardan foydalangan, bu esa abakusdan tezroq foydalanish mumkinligini anglatadi.^[26]
Miloddan avvalgi 1-asrda yozgan Horace mumi abakusni, ustiga qalam yordamida ustunlar va figuralar yozilgan, qora mumning ingichka qatlami bilan qoplangan taxtani nazarda tutadi.^[27]
Arxeologik dalillarning bir misoli Rim abakusi, bu erda qayta qurishda ko'rsatilgan, milodiy I asrga to'g'ri keladi. Uning har birida beshtagacha boncukni o'z ichiga olgan sakkizta uzun yiv va har birida bitta yoki hech qanday boncuk bo'lmagan sakkizta qisqa yiv bor. I bilan belgilangan truba birliklarni, X o'nliklarni va boshqalarni millionlab ko'rsatib beradi. Qisqa yivlardagi boncuklar beshta birlikni, beshta o'nlikni va boshqalarni bildiradi, asosan a kodli o'nlik bilan bog'liq bo'lgan tizim Rim raqamlari. Rim "unsiyasi" (ya'ni kasrlar) ni belgilash uchun o'ngdagi qisqa oluklar ishlatilgan bo'lishi mumkin.
Hind
The Abhidharmakośabhāṣya ning Vasubandxu (316-396), buddizm falsafasiga bag'ishlangan sanskrit asarida, milodning ikkinchi asridagi faylasuf Vasumitra dedi "fitilni joylashtirish (sanskritcha) vartikā) birinchi raqamda (ekāṅka) fitilni yuz raqamiga qo'yganda, bu yuz, mingga esa ming degan ma'noni anglatadi "degan ma'noni anglatadi. Ushbu kelishuv aniq nima bo'lganligi noma'lum. V asr atrofida , Hindistonlik kotiblar Abakus tarkibini yozib olishning yangi usullarini allaqachon topishgan.^[28] Hindcha matnlarda bu atama ishlatilgan .nya abakusdagi bo'sh ustuni ko'rsatish uchun (nol).^[29]
Yapon tilida abakus deyiladi soroban (算盤, そ ろ ば ん, yoritilgan 14-asrda Xitoydan olib kelingan "hisoblash laganda").^[30] Ehtimol, u ishchi sinf tomonidan hukmron sinf boshlanishidan bir asr oldin yoki undan ko'proq vaqt oldin foydalanilgan, chunki sinf tuzilishi quyi sinf foydalanadigan moslamalarni hukmron sinf tomonidan qabul qilinishiga yoki ishlatilishiga yo'l qo'ymaydi.^[31] Kamdan kam ishlatiladigan ikkinchi va beshinchi boncukları olib tashlaydigan 1/4 abakus 1940 yillarda mashhur bo'ldi.
Bugungi yapon abakusi - bu 1: 4 turi, to'rtta munchoqli abakus Muromachi davrida Xitoydan olib kelingan. U yuqori pastki bitta boncuk va pastki to'rtta boncuk shaklini oladi. Yuqori pastki ustki boncuk beshta, pastki qismi esa xitoy yoki koreys abakusiga teng, o'nlik sonni ifodalash mumkin, shuning uchun abakus bitta to'rtta abakus sifatida yaratilgan. Boncuklar har doim olmos shaklida bo'ladi. Bo'linish usuli odatda bo'linish usuli o'rniga ishlatiladi; Shu bilan birga, ko'paytirish va bo'linish raqamlarini doimiy ravishda bo'linish ko'paytmasidan foydalaning. Keyinchalik Yaponiyada 3: 5 ga teng bo'lgan abakus bor edi 天 天 三, hozirda Shansi qishlog'ining Ize Rongji kollektsiyasidir. Yamagata Shahar. Shuningdek, 2: 5 tipdagi abakus ham bo'lgan.
To'rt munchoqli abakus tarqalishi bilan butun dunyo bo'ylab yapon abakusidan foydalanish ham keng tarqalgan. Shuningdek, turli joylarda yaxshilangan yapon abakusi mavjud. Xitoyda ishlab chiqarilgan Yaponiyada ishlab chiqarilgan abakuslardan biri alyuminiy karkasli plastik boncuk abakusidir. Fayl to'rtta boncuk yonida joylashgan va "tozalash" tugmasi, tozalash tugmachasini bosing, darhol yuqori boncukni yuqori holatiga qo'ying, pastki boncuk pastki holatiga teriladi, darhol tozalanadi, ishlatish uchun qulay.
Abakus bugungi kunda ham Yaponiyada ishlab chiqarilmoqda, hatto cho'ntakning ko'payishi, amaliyligi va arzonligi bilan elektron kalkulyatorlar. Sorobandan foydalanish hali ham yapon tilida o'qitiladi boshlang'ich maktablari qismi sifatida matematika, birinchi navbatda tezroq aqliy hisoblash uchun yordam sifatida. Sorobanning vizual tasviridan foydalanib, javobni jismoniy asbob bilan bir vaqtda yoki hatto undan ham tezroq olish mumkin.^[32]
Koreys
Xitoy abakusi Xitoydan ko'chib o'tgan Koreya milodiy 1400 yil atrofida.^[18][33][34] Koreyslar buni chaqirishadi yupan (주판), supan (수판) yoki jusan (주산).^[35]To'rt dona abakus (1: 4) Koreyaning Goryeo sulolasiga Song Dynasty davrida, keyin beshta boncuk abacus (5: 1) abacus Xitoyga Koreyaga Min sulolasi davrida kiritilgan.
Tug'ma amerikalik

An ning vakili Inka quipu

A yupana Inklar tomonidan ishlatilgan.

Ba'zi manbalarda a deb nomlangan abakusdan foydalanish qayd etilgan nepohualtzintzin qadimda Azteklar madaniyat.^[36] Ushbu Mesoamerika abakusi 5 xonali baza-20 tizimidan foydalangan.^[37]Nepōhualtzintzin so'zi [nepoːwaɬˈt͡sint͡sin] dan keladi Nahuatl va u ildizlardan hosil bo'ladi; Ne - shaxsiy -; phhual yoki phhualli [ˈPoːwalːi] - hisob -; va tzintzin [ˈT͡sint͡sin] - kichik shunga o'xshash elementlar. Uning to'liq ma'nosi quyidagicha qabul qilingan: kimdir shu kabi kichik elementlar bilan hisoblash. Uning ishlatilishi Calmecac uchun temalpouhqueh [temaɬˈpoʍkeʔ], bolalikdan osmon hisobini olishga bag'ishlangan talabalar bo'lganlar.
Nefihualtzintzin bar yoki oraliq shnur bilan ajratilgan ikkita asosiy qismga bo'lingan. Chap qismida to'rtta boncuk bor edi, ular birinchi qatorda unitar qiymatlarga ega (1, 2, 3 va 4), o'ng tomonda esa mos ravishda 5, 10 va 15 qiymatiga ega uchta boncuk bor. Yuqori satrlarning tegishli boncuklarının qiymatini bilish uchun birinchi qatorda tegishli hisobning qiymatini 20 ga (har bir qatorga) ko'paytirish kifoya.
Hammasi bo'lib 13 ta qator bor edi, ularning har birida 7 ta boncuk bor edi, ular har bir Nefuualtzintzinda 91 ta boncukdan iborat edi. Bu tushunish uchun asosiy raqam edi, 13 marta 7, tabiat hodisalari, er osti dunyosi va osmon tsikllari o'rtasidagi chambarchas bog'liqlik. Bitta Nefuualtzintzin (91) yil faslining davom etadigan kunlar sonini, ikkita Nepuualtsitzin (182) - makkajo'xori tsiklining kunlari soni, uning ekishidan hosiligacha, uchta Nefuualtzintzin (273) kunlar sonini anglatadi. chaqaloqning homiladorlik davri va to'rtta Nepihualtsintsin (364) tsiklni tugatdi va taxminan yiliga (11/4 qisqa kun). Zamonaviy kompyuter arifmetikasiga o'girilganda, Nep intoualtzintzin 10 dan 18 gacha bo'lgan darajani tashkil etdi suzuvchi nuqta, yulduzcha va cheksiz miqdorlarni mutlaq aniqlik bilan hisoblab chiqdi, bu aylanishga yo'l qo'yilmasligini anglatadi.
Nefuualtsintsinning qayta kashf etilishi meksikalik muhandis Devid Esparza Xidalgo,^[38] u butun Meksika bo'ylab sayr qilish paytida ushbu asbobning turli xil gravyuralari va rasmlarini topib, ulardan bir nechtasini oltindan, nefritdan, qobiqdan yasalgan buyumlar va hk.^[39] Shuningdek, juda qadimiy Nefuualtzintzin topilgan Olmec madaniyati va hatto ba'zi bilakuzuklari Maya kelib chiqishi, shuningdek boshqa madaniyatlardagi shakllar va materiallarning xilma-xilligi.
Jorj I. Sanches, "Mayadagi arifmetika", Ostin-Texas, 1961 y. Yana 5-bazani, 4-abakus bazasini topdi. Yucatan yarimoroli bu shuningdek taqvim ma'lumotlarini hisoblab chiqdi. Bu barmoq abakusi edi, bir tomondan 0, 1, 2, 3 va 4 ishlatilgan; va boshqa tomondan 0, 1, 2 va 3 ishlatilgan. Ikkala tsiklning boshida va oxirida noldan foydalanishga e'tibor bering. Sanches bilan ishlagan Silvanus Morli, taniqli mayyachi.
The quipu ning Incalar raqamli ma'lumotlarni yozish uchun ishlatiladigan rangli tugunli kordonlar tizimi edi,^[40] ilg'or kabi tally tayoqchalar - lekin hisob-kitoblarni bajarish uchun foydalanilmaydi. Hisob-kitoblar a yordamida amalga oshirildi yupana (Kechua "hisoblash vositasi" uchun; Peru zabt etilgandan keyin ham ishlatilgan). Yupananing ishlash printsipi noma'lum, ammo 2001 yilda ushbu asboblarning matematik asoslarini tushuntirish italiyalik matematik Nikolino De Paskal tomonidan taklif qilingan. Tadqiqotchilar bir nechta yupanalar shaklini taqqoslab, hisoblash yordamida Fibonachchi ketma-ketligi 1, 1, 2, 3, 5 va 10, 20 va 40 kuchlari asbobdagi turli maydonlar uchun joy qiymatlari sifatida. Fibonachchi ketma-ketligidan foydalanish har qanday daladagi donalar sonini minimal darajada ushlab turishga imkon beradi.^[41]
Ruscha

Rossiya abakusi

Rossiya abakusi, schoty (Ruscha: schyoty, ko'plik Ruscha: schyot, hisoblash), odatda bitta eğimli pastki qismga ega, har bir simda o'nta boncuk (bitta simdan tashqari, odatda foydalanuvchi yaqinida joylashgan, to'rtdan bir qismi uchun to'rtta boncuk mavjud). Qadimgi modellarda chorak uchun yana 4 dona simli sim bor.kopek 1916 yilgacha zarb qilingan. Rus abakusi ko'pincha vertikal ravishda ishlatiladi, har bir simni chapdan o'ngga kitobdagi satrlar singari. Boncuklar ikki tomonning ikkalasiga ham mahkam tutilishi uchun simlar odatda o'rtada yuqoriga ko'tarilish uchun egiladi. Barcha boncuklar o'ng tomonga o'tkazilganda tozalanadi. Manipulyatsiya paytida boncuklar chapga siljiydi. Oson ko'rish uchun har bir simdagi o'rta 5 ta boncuk (5-chi va 6-chi boncuklar) odatda boshqa sakkizta boncuklardan farq qiladi. Xuddi shu tarzda, minglab simlarning chap munchoqlari (va agar mavjud bo'lsa, million sim) boshqa rangga ega bo'lishi mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar:

• 
  Aimi, Antonio; De Pasquale, Nikolino (2005). "Ande kalkulyatorlari" (PDF). tarjima qilingan Del Byanko, Franca. Arxivlandi (PDF) asl nusxasidan 2015 yil 3 mayda. Olingan 31 iyul, 2014.
  
• 
  Albri, Djo (2000). Gessenbrux, Arne (tahrir). Fan tarixi bo'yicha o'quvchilar uchun qo'llanma. London, Buyuk Britaniya: Fitzroy Dearborn Publishers. ISBN 978-1-884964-29-9.
  
• 
  Anon (2002 yil 12 sentyabr). "O'rta asrlar Abaksi, kelib chiqish mintaqasi Yaqin Sharq". Hisoblash tarixi loyihasi. Arxivlandi asl nusxasidan 2014 yil 9 mayda. Olingan 31 iyul, 2014.
  
•