Abel in, Kuvvet Serilerinin Yakınsaklık

---

Abel in, Kuvvet Serilerinin Yakınsaklık

Aralı˘

gının U¸

c Noktalarında davranı¸

sı ile ilgili bir

teoreminin ispatı:

Bu ispat, Matematik D¨

unyası Dergisinin 2013 yılı 1. sayısının (MD Sayı 94) 36-37. sayfalarında

Tosun Terzio˘

glu nun yazısında bulunabilir. ( O yazıda ve bazı kitaplarda, bizim kullandı˘

gımız

lim

x→r

−

yerine lim

x↑r

kulanılıyor)

Teorem:

Yakınsaklık yarı¸capı 0 < r < ∞ olan bir kuvvet serisinin toplamı g(x) =

P

∞

n=0

a

n

x

n

olsun. E˘

ger

P

∞

n=0

a

n

r

n

yakınsak bir seri ise:

lim

x→r

−

g(x) =

∞

X

n=0

a

n

r

n

olur.

˙Ispat:

¨

Once r = 1 ¨

ozel durumunda ve (her x ∈ (−1, 1) i¸cin) f (x) =

P

∞

n=0

a

n

x

n

iken e¸sitli˘

gı ispat-

layalım. Daha sonra genel durum kolayca elde edilecektir.

P

∞

n=0

a

n

serisinin yakınsak oldu˘

gunu

varsayıyoruz.

k ≥ 1 i¸cin t

k

=

P

k

n=0

a

n

tanımını yapalım. a

n

= t

n

− t

n−1

e¸sitli˘

ginden

k

X

n=0

a

n

x

n

= a

0

+

k

X

n=1

(t

n

− t

n−1

)x

n

= a

0

+ a

k

x

k

− a

0

x −

k−1

X

n=1

t

n

(x

n+1

− x

n

)

t

0

= a

0

alarak daha sonra

k

X

n=0

a

n

x

n

= (1 − x)a

0

+ a

k

x

k

−

k−1

X

n=1

t

n

(x

n+1

− x

n

) = a

k

x

k

+ (1 − x)

k−1

X

n=0

t

n

x

n

elde ederiz. (−1, 1) aralı˘

gındaki her x i¸cin lim a

k

x

k

= 0 oldu˘

gundan f (x) = (1 − x)

P

∞

n=0

t

n

x

n

sonucuna varırız. S

¸imdi t =

P

∞

n=0

a

n

olsun. Geometrik seri toplam form¨

ul¨

unden, −1 < x < 1

i¸cin, t

P

∞

n=0

x

n

=

t

1−x

buluruz. B¨

oylece f (x) − t = (1 − x)

P

∞

n=0

(t

n

− t)x

n

sa˘

glanır. Herhangi bir

m ∈ N, (m ≥ 1) verildi˘ginde, yukarıdaki seriyi iki par¸caya ayırıp,

|f (x) − t| ≤ |1 − x|

 

m−1

X

n=0

|t

n

− t||x|

n

+

∞

X

n=m

|t

n

− t||x|

n

!

e¸sitsizli˘

gine ula¸sırız. Ama lim t

n

= t ve dolayısıyla bir ε > 0 sayısı verildi˘

ginde m ∈ N, (m ≥ 1)

sayısını, her n ≥ m i¸cin |t

n

− t| <

ε

2

olacak ¸sekilde se¸celim. ¨

Oyleyse

|f (x) − t| ≤ |1 − x|

 

m−1

X

n=0

|t

n

− t||x|

n

+

ε

2

∞

X

n=m

|x|

n

!

elde ettik. Amacımız, x → 1

−

iken limiti bulmak oldu˘

gundan sadece (0, 1) aralı˘

gını g¨

oz¨

on¨

une

alalım. Sa˘

gdaki ikinci terimde geometrik seri toplam form¨

ul¨

un¨

u kullanırsak

∞

X

n=m

|x|

n

=

|x|

m

1 − |x|

=

x

m

1 − x

<

1

1 − x

1

---

elde ederiz. Ayrıca her x ∈ (0, 1) ve her n ≥ 0, (n ∈ N) i¸cin |x|

n

≤ 1 olur. Demek ki elimizde

|f (x) − t| < (1 − x)

 

m−1

X

n=0

|t

n

− t| +

ε

2

1

1 − x

!

= (1 − x)

m−1

X

n=0

|t

n

− t| +

ε

2

var. S

¸imdi δ =

ε

2

P

m−1

n=0

|t

n

− t|

−1

olsun. 1 − δ < x < 1 i¸cin 1 − x < δ olur ve

|f (x) − t| <

ε

2

+

ε

2

= ε

sa˘

glanır. ¨

Oyleyse

lim

x→1

−

f (x) = t =

∞

X

n=0

a

n

olur.

Genel durum (g(x) =

P

∞

n=0

a

n

x

n

ve kuvvet serisinin yakınsaklık yarı¸capı 0 < r < ∞ ve

P

∞

n=0

r

n

x

n

yakınsak iken)

f (x) = g(rx) =

∞

X

n=0

a

n

r

n

x

n

yazalım.

lim

x→r

−

g(x) = lim

x→1

−

f (x) oldu˘

gu, limit tanımı ile kolayca g¨

osterilebilir (veya kitabımızdaki Limitler

i¸cin De˘

gi¸sken De˘

gi¸sikli˘

gi Teoreminden elde edilir).

Daha ¨

once kanıtladı˘

gımız ¨

ozel hal bize

lim

x→r

−

g(x) = lim

x→1

−

f (x) =

∞

X

n=0

a

n

r

n

verir.

Bu durumu, kolayca, herhangi merkezli kuvvet serilerine genelle¸stirebiliriz:

Teorem:

Yakınsaklık yarı¸capı 0 < r < ∞ olan bir kuvvet serisinin toplamı g(x) =

P

∞

n=0

a

n

(x − a)

n

olsun.

E˘

ger

P

∞

n=0

a

n

r

n

yakınsak bir seri ise:

lim

x→a+r

−

g(x) =

∞

X

n=0

a

n

r

n

olur. (˙Ispatı zor de˘

gil.)

2