Amaliy ekonometrik modellar

Iqtisodiyotda chiziqli modellar

Matritsalar algebrasining elementlaridan foydalanish ko’p iqtisodiy masalalarni echishning asosiy usullaridan biridir. Bu masala ma’lumotlar bazalarini yaratish va ulardan foydalanishda juda dolzarb bo’lib qoldi: ular bilan ishlashda deyarli barcha axborot matritsa ko’rinishida saqlanadi va qayta ishlanadi.
Ko’ptarmoqli xo’jalik faoliyatining makroiqtisodiyoti alohida tarmoqlar orasidagi balansni talab qiladi. Har bir tarmoq, bir tomondan, ishlab chiqaruvchi bo’lib, ikkinchi tomondan esa boshqa tarmoqlar ishlab chiqargan mahsulotni iste’molchisi bo’ladi. Bunday hollarda tarmoqlar orasidagi boѓlanishlarni har xil turdagi mahsulotlarni ishlab chiqarish va iste’mol qilish orqali hisoblashning ancha murakkab masalasi paydo bo’ladi. Birinchi marta bu muammo matematik model ko’rinishida 1936 yilda AQShdagi 1929–1932 yillar iqtisodiy depressiyasining sabablarini tahlil qilib ko’rishga uringan mashhur amerikalik iqtisodchi V.Leontevning asarlarida bayon etildi. Bu model matritsalar algebrasiga asoslanib, matritsalar tahlilining apparatidan foydalanadi.
Soddalik uchun xo’jalikning ishlab chiqarish sohasi har biri o’zining bir jinsli mahsulotini ishlab chiqaruvchi p ta tarmoqdan iborat deb hisoblaymiz. Har bir tarmoq o’zining ishlab chiqarishini ta’minlash uchun boshqa tarmoqlarning mahsulotiga muhtoj (ishlab chiqarish iste’moli). Odatda ishlab chiqarish jarayoni ma’lum bir vaqt davrida qaraladi; ko’p hollarda bunday birlik sifatida bir yil olinadi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
— i nchi tarmoq jami mahsulotining hajmi (uning yalpi ishlab chiqarishi);
— i nchi tarmoq mahsulotining j nchi tarmoqda hajmdagi mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarflanadigan hajmi;
— i nchi tarmoq mahsulotining noishlab chiqarish sohasida o’zlashtirish (iste’mol) uchun mo’ljallangan hajmi, yoki yakuniy iste’mol mahsuloti. Unga fuqarolarning shaxsiy iste’moli, ijtimoiy ehtiyojlarni qondirish, davlat institutlarini ta’minlash va hokazolar kiradi.
T
,
urli sanoat tarmoqlari boѓliqligining balans tamoyili shundan iboratki, i nchi tarmoq yalpi ishlab chiqarishi ishlab chiqarish va noishlab chiqarish sohalaridagi iste’mol hajmlarining yiѓindisiga teng bo’lishi kerak. Eng sodda holda balans munosabatlari
(8.1)
ko’rinishga ega.
(8.1) tenglamalar balans munosabatlari deb ataladi. Har xil tarmoqlar mahsuloti har xil o’lchovga ega bo’lgani uchun bundan keyin qiymat balansini nazarda tutamiz.
Ko’ptarmoqli iqtisodiyot chiziqli modeli — Leontev modeli
V.Leontev tomonidan ikkinchi jahon urushidan oldingi davrdagi AQSh iqtisodiyotini tahlil qilish asosida quyidagi muhim fakt aniqlandi: uzoq vaqt davomida kattaliklar juda kam o’zgaradi va o’zgarmas sonlar sifatida qaralishi mumkin. Bu hodisani shunday tushunish kerakki, ishlab chiqarish texnologiyasi ancha uzoq vaqt davomida bir xil darajada turadi va, demak, j nchi tarmoqda hajmdagi mahsulotni ishlab chiqarish uchun i nchi tarmoq mahsulotining iste’mol qilinadigan hajmi texnologik konstanta (o’zgarmas son)dan iborat bo’ladi.
B

unda sonlar bevosita (to’ѓri) xarajatlar koeffitsientlari deb ataladi. Ko’rsatilib o’tilgan faktga asosan
(8.2)
ga ega bo’lamiz. U holda (8.1) tenglamalarni
(8.3)
tenglamalar sistemasi ko’rinishida yozish mumkin.
Ishlab chiqarilgan mahsulot hajmlarining ustun-vektori (yalpi ishlab chiqarish vektori), yakuniy iste’mol mahsuloti hajmlarining ustun-vektori (yakuniy iste’mol vektori) va bevosita xarajatlar koeffitsientlari matritsasi
, , (8.4)
l

arni kiritamiz. U holda (9.3) tenglamalar sistemasi matritsa shaklida
(8.5.)
ko’rinishga ega.

Odatda bu munosabat chiziqli tarmoqlararo balans tenglamasi deb ataladi. Bu tenglama (8.4) matritsa ko’rinishdagi ifodalanishning tavsifi bilan birga Leontev modeli deb nomlanadi.

Chiziqli tarmoqlararo balans tenglamasidan ikki maqsad uchun foydalanish mumkin. Yalpi ishlab chiqarish vektori ma’lum bo’lgan birinchi, eng sodda holda yakuniy iste’mol vektori ni hisoblash talab qilinadi. Ikkinchi holda rejalashtirish maqsadlari uchun chiziqli tarmoqlararo balans tenglamasidan masalaning quyidagi shaklida foydalaniladi: vaqt davri (masalan, bir yil) uchun yakuniy iste’mol vektori ma’lum bo’lib, yalpi ishlab chiqarish vektori ni aniqlash talab qilinadi. Bu erda matritsasi ma’lum va vektori berilgan (2.5) chiziqli tenglamalar sistemasini echish zarur. Shu bilan birga, (8.5) sistema berilgan masalaning amaliy tabiatidan kelib chiqadigan qator xususiyatlarga ega; eng avvalo matritsa hamda va vektorlarning barcha elementlari nomanfiy bo’lishi kerak.

Leontev modelining samaradorligi
Agar nomanfiy komponentali ixtiyoriy vektor uchun (8.5) tenglamaning echimi — barcha elementlari nomanfiy bo’lgan vektor mavjud bo’lsa, u holda hamma elementlari nomanfiy bo’lgan matritsa samarador deb ataladi. Bu holda Leontev modeli ham samarador deb ataladi.
(


8.5) sistemani birlik matritsadan foydalanib,

ko’rinishda qayta yozamiz.

A

gar teskari matritsa mavjud bo’lsa, u holda (8.5) tenglamaning

yagona echimi ham mavjud bo’ladi. matritsa to’la xarajatlar matritsasi deb ataladi.

matritsa samaradorligining bir nechta mezoni mavjud. Ulardan ikkitasini keltiramiz.
1. matritsa mavjud bo’lib, uning elementlari nomanfiy bo’lganda va faqat shundagina matritsa samarador bo’ladi.
2. Agar elementlari nomanfiy bo’lgan matritsaning ixtiyoriy ustuni (satri) bo’yicha elementlari yiѓindisi birdan oshmasa:
yoki ,
hamda hech bo’lmaganda bitta ustun (satr) uchun bu yiѓindi birdan qat’iy kichik bo’lsa, u holda bunday matritsa samarador bo’ladi.