«amaliy matematika va informatika» kafedrasi

Teorema. Faraz qilaylik, barcha uchun bo’lib, lar chegaralangan bo’lsin. U holda bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
(1.1.6)
bo’lib funksiyalar ning chiziqli erkli yechimlaridir.
Isbot. (11.4) tenglamani quyidagi ( bo’lganda)

ko’rinishda yozib olamiz. Agar berilgan bo’lsa, (1.1.4) dan ketma-ket larni topib olamiz. Demak ixtiyoriy uchun L(z) = 0 tenglama yechimga ega. Bu yechim yagona, chunki qar qanday yechimning qiymati (1.1.7) tenglamani qanoatlantiradi, bu tenglamadan esa larning qiymatlari yagona ravishda aniqlanadi.
Endi orqali tenglamaning shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini belgilaylik.
Bu yechimlar chiziqli erkli sistemani tashkil etadi. Haqiqatan ham
(1.1.8)
bo’lsa, u holda uchun

Shuning uchun ham funksiyalar chiziqli erklidir.
Endi ning ixtiyoriy yechimini (1.1.6) ko’rinishda yozish mumkinligini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, ning biror yechimi bo’lsin. U holda

funksiya bu tenglamaning dastlabki shartlarini qanoatlantiradigan yechimi bo’ladi. tenglama yechimining yagonaligidan
(1.1.9)
kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
Endi o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli-ayirmali tenglamani

va unga mos keluvchi bir jinsli
(1.1.10)
tenglamani qaraymiz. Oxirgi tenglamaning xususiy yechimini ko’rinishda izlaymiz, u holda

Demak, xarakteristik tenglama deb ataluvchi

tenglamaning har bir yechimiga (1.1.10) tenglamaning xususiy yechimi mos keladi.
Agar xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari tub bo’lsa, u holda p ta har xil yechimga ega bo’lamiz. Xarakteristik tenglamaning har biri k karrali ildiziga (1.1.10) tenglamaning k ta har xil
(1.1.11)
yechimlari to’g’ri kelishini ko’rsatamiz. Buni karrali ildizlar haqiqiy bo’lgan hol uchun qarash bilan kifoyalanamiz, chunki aytilgan gaplar kompleks bo’lgan hol uchun ham o’rinlidir.
Xarakteristik kop’hadni ko’paytuvchilarga ajratamiz:

Haqiqiy parametrni olib, quyidagi ikki shartni qanoatlantiruvchi ni olamiz:
1) barcha uchun lar har xil;
2) barcha uchun
Bu ildizlarga moc keladigan xarakteristik tenglamani tuzamiz:

Ko’rinib turibdiki, Bu xarakteristik tenglamaga
(1.1.12)
ayirmali tenglama mos keladi. Endi faraz qilaylik uchun (1.1.12) tenglamaning shunday yechimini ko’rsata olaylikki, ixtiyoriy п > 0 uchun limit mavjud bo’lsin. Agar ni hisobga olib, (1.1.12) tenglamada limitga o’tsak u holda z_n limitdagi funksiya (1.1.10) tenglamaning yechimi ekanligini ko’ramiz. Shunday ketma-ketliklarni ko’ramizki, ular (1.1.10) tenglamaning karrali ildiziga mos keladigan xususiy yechimiga yaqinlashsin. Bunday qurishni amalga oshirish uchun bo’lingan ayirmalardan foydalanamiz. Avval ildiz ikki karrali bo’lgan holni ko’ramiz, buning uchun deb belgilab,

birinchi tartibli bo’lingan ayirmani olamiz. Ko’rinib turibdiki, bu funksiya (1.1.10) tenglamani qanoatlantiradi. Endi ni hisobga olib, limitga o’tamiz:

Shunday qilib, biz ikki karrali ildizga mos keladigan yana bir yechimga ega bo’ldik. Endi ning karraligi ikkidan katta bo’lgan holni ko’rib chiqamiz.
Ixtiyoriy uchun orqali ning q tartibli bo’lingan ayirmasini belgilaymiz, (1.1.13) ga ko’ra:

Ko’rinib turibdiki, (1.1.12) tenglamani qanoatlantiradi. So’ngra, (1.1.14) dan foydalanib, ni quyidagicha yozishimiz mumkin .
Bu yerda bo’lgani uchun holda limitga o’tib,

ni hosil qilamiz. Shunday qilib, k karrali xarakteristik ildizga k ta har xil (1.1.11) funksiyalar mos kelishini ko’rsatdik.