3. Xosmas integrallar Aniq integralning ta’rifida integrallash chegaralari chekli va integral ostidagi funksiya oraliqda chegaralangan deb olingan edi. Bu shartlardan hech bo‘lmaganda birortasi bajarilmasa, integralning yuqoridagi ta’rifi ma’nosini yo‘qotadi.
Biroq nazariy va amaliy mulohazalarga muvofiq aniq integralning ta’rifi bu cheklanishlar bajarilmaydigan hollar uchun ham umumlashtirilishi mumkin.
Bunday integrallar bizga tanish bo‘lgan aniq integrallarga xos bo‘lmagan qisqacha xosmas integrallar deb aytiladi.
Xosmas integrallarning ikki asosiy turini qaraymiz:
1). Uzluksiz funksiyalarning cheksiz oraliq bo‘yicha integrallari. funksiya oraliqda berilgan va uning istalgan qismi da integrallanuvchi, ya’ni istalgan da aniq integral mavjud bo‘lsin. Bu holda
limitga funksiyaning oraliqdagi xosmas integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
. (1 )
limit chekli bo‘lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Limit mavjud bo‘lmasa, xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
funksiyadan oraliq bo‘yicha olingan xosmas integral ham xuddi yuqoridagiga o‘xshash aniqlanadi:
. (2)
funksiyadan oraliq bo‘yicha olingan xosmas integral qo‘yidagicha aniqlanadi.:
(3)
bu yerda istalgan son. (3) integrallarda o‘ng tomondagi ikkala integral ham yaqinlashsa chap tomondagi integral ham yaqinlashuvchi deyiladi. O‘ng tomondagi integrallardan aqalli bittasi uzoqlashsa, chap tomondagi integral ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Xosmas itegrallarni hisoblash uchun Nyuton-Leybnis formulasidan foydalaniladi. funksiya oraliqda uchun boshlang‘ich funksiya bo‘lsa,
bo‘lib, bu yerda: integralning yaqinlashishini yoki
uzoqlashishini aniqlaydi.
1-misol. integralning yaqinlashishini tekshiring.
Yechish:
Demak, integral yaqinlashuvchi va ga teng.
2-misol. bo‘lib, bu integral uzoqlashuvchi.
