Aniq integrallarni taqribiy hisoblash

Tayanch iboralar:
Elementar funktsiya, integral, aniq integral, aniqmas integral, kvadratur, egri chiziqli trapetsiya, egri chiziqli trapetsiya yuzi, aniq echim, bulinish nuqtalari, Simpson formulasi.
1. SIMPSON (PARABOLA) USULI
Simpson formulasi yuqorida keltirib chikarilgan formulalarga karaganda aniqligi yuqori bo`lgan formula hisoblanadi. Bu formulada integralning qiymatini yuqori aniqlikda olish uchun bulinish kadamlarini tobora oshirish talab etilmaydi. [a,b] kesmani a=x<sub>012</sub>…x<sub>n-1 n</sub>=b nuqtalar bi­lan p=2 ta juft teng bulakchalarga ajratamiz. u= f(x) egri chiziqka tegishli bo`lgan (x₀,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂) nuqtalar orqali parabola o’tkazamiz. Bizga ma`lumki, bu parabolaning tenglamasi

y = Ax² + Bx + C (5.5)

bo`ladi, bu erda A, V, S — hozircha noma`lum bo`lgan koeffitsientlar. [x<sub>0</sub>,x<sub>2</sub>] kesmadagi egri chiziqli trapetsiyaning yuzini shu kesmadagi parabola bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi bilan almashtirsak, quyidagiga ega bo`lamiz:

(x₂ —x₀) ni kavsdan tashqariga chikarib, umumiy maxraj-ga keltirsak:

(5.6)

(5.5) dagi noma`lum A, V, S koeffitsientlar quyidagicha topiladi: x ning x₀, x₁, x₂ qiymatlarida f(x) ning qiymatlari y₀, y₁, y₂ ekanini va jamini hisobga olsak, (5.5) dan:

(5.7)

(5.7) ning ikkinchi ifodasini turtga ko`paytirib, uchala tenglikni bir-biriga kushsak:

(5.8)

Bu ifodani (5.6) bilan solishtirsak, bularning ung taraflari bir xil ekanligini ko`ramiz. (5.8) ni (5.6) ning ung tarafiga kuysak va x<sub>2</sub>-x<sub>0</sub>=2h [h=(b-a)/n] ekanligini e`tiborga olsak, quyidagi taqribiy tenglikni topamiz:

(5.9)

Xuddi shunday formulani [x₂, x₄] kesma uchun ham keltirib chiqarish mumkin:

(5.10)

Bu formulalarni butun kesma [a, b] uchun keltirib chikarib, bir-biriga kushsak, quyidagini hosil kilamiz:

(5.11)

Bu topilgan formula Simpson formulasidir. Ba`zi xollarda uni parabolalar formulasi deb ham ataydilar.

(5.11) ni eslab kolish unchalik kiyin emas; tok rakamli ordinatalar turtga, juft rakamli ordinatalar (ikki chekkadagi ordinatadan tashqari) ikkita ko`paytiriladi. CHekkadagi ordinatalar y<sub>0</sub>, y<sub>2m</sub> esa birga ko`paytiriladi.
2. USULNING ISHCHI ALGORITMI, UNING XATOLIGI MIQDORINI BAHOLASH