Aniq integrallarni taqribiy hisoblash

3. TO`G’RI TURTBURCHAKLAR VA TRAPETSIYALAR FORMULASI
Faraz kilaylik, bizdan aniq integralning taqribiy qiymatini topish talab etilsin. x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, . . . x<sub>n</sub> nuqtalar yordamida [a; b] kesmani p ta teng bulakchalarga bo`lamiz. Har bir bulakchaning uzunligi . Bulinish nuqtalari esa:

x₀ = a; x₁ = a + h; x₂ = x + 2h; x₃ = a+3h … x_n-1 = a+(n-1)h; x_n = b

Bu nuqtalarni tugun nuqtalar deb ataymiz. f(x) funktsiyaning tugun nuqtalaridagi qiymatlari y₀, y₁, y₂, … y_n bo`lsin. Bular y<sub>0</sub> = f(a); y<sub>1</sub> = f(x<sub>1</sub>) … y<sub>n</sub>=f(b) larga teng bo`ladi .

Egri chiziqli trapetsiyaning yuzini topish uchun [a,b] kesmani bo`lish natijasida hosil bo`lgan barcha turtburchaklarning yuzini hisoblab, ularni jamlash kerak bo`ladi. Albatta bu yuzachalarni hisoblashlarda ma`lum darajada xatoliklarga yo`l qo`yiladi (shtrixlangan yuzachalar). Bularni va 5.1-da aytilgan aniq integralning geometrik ma`nosini hisobga olsak, quyidagini yozishimiz mumkin bo`ladi:



(5.2)

Bu erda to`g’ri turtburchak yuzini hisoblashda uning chap tomon ordinatasi olindi. Agar ung tomon ordinatami olsak ham shunday formulaga ega bo`lamiz:

(5.3)

(5.2) va (5.3) larni moe ravishda chap va ung formulalar deyiladi. Agar 13- rasmga e`tibor bersak, (5.2) formula bilan integralning qiymati hisoblanganda integralning taqribiy qiymati aniq qiymatidan ma`lum darajada kamrok chikadi, (5.3) yordamida hisoblanganda esa taqribiy qiymat aniq qiymatdan ma`lum darajada kattarok chikadi. Ya`ni (5.2) va (5.3) formulalar yordamida aniq integralning taqribiy qiymati hisoblan­ganda bu formulalardan biri integralning aniq qiymatini kami bilan ifodalasa, ikkinchisi esa ko`pi bilan ifodalaydi. 13- rasmdan kurinadiki, (5.2) va (5.3) formulalarni qo`llaganda yo`l qo`yiladigan xatolikni kamaytirish uchun bulinish nuqtalarini iloji boricha ko`prok olish, ya`ni kadam h ni tobora kichraytirish lozim bo`ladi. Albatta, h ni kichraytirish hisoblash jarayonining keskin usishiga olib keladi. Bu narsadan xavotirga tushmasligimiz kerak, chunki butun hisoblash jarayoni EHM ga yuklanadi.

Misol. To`g’ri turtburchaklar formulalari (5.2) va (5.3) yordamida integralning taqribiy qiymatlari topilsin.

Echish. Bu erda a=0; b=1; n=10; h=(b- a)/n=0,1.



x₀=a=0; x₁=a+h=0,1; x₂=a+2h=0,2; x₃=a+3h=0,3

x₄=a+4h=0,9 … x₉=a+9h=0,9; x₁₀=b=1

(5.2) dan

(5.3) dan

Ma`lumki, . Bulardan kurinadiki, aniq echim chap va ung formulalar orqali topilgan echimlar orasida yotadi.

Topilgan echimlar 0,718 va 0,668 ning o’rta arifmetigini olsak, bu 0,693 ga teng bo`ladi, bu esa aniq echim bilan ustma-ust tushadi.

Bu xulosalarni nazarga olgan xolda (5.2) va (5.3) formulalar xad-larini moc ravishda kushib o’rta arifmetigini olsak, quyidagi ifoda hosil bo`ladi:

(5.4)

(5.4) formula trapetsiyalar formulasi deb ataladi. Bu formula yordamida topilgan integralning taqribii qiymatining aniqligini oshirish uchun bulinish nuqtalari soni n» ni ikki, uch va x.k. marta oshirish kerak bo`ladi. Albatta bunda ham hisoblash xajmi bir necha marotaba oshadi.