Aniq integralning geometriyaga tadbiqi

2. Figuralar yuzlarini qutb koordinatalarida hisoblash.
AB egri chiziq qutb koordinatalarida formula bilan berilgan va funksiya kesmada uzluksiz bo’lsin (4-rasm)
B

A

0
Ushbu egri chiziq va qutb o’qlari bilan va burchak hosil qiluvchi 2 ta nurlar bilan chegaralangan egri chiziqli sektorning yuzini aniqlaymiz.

Buning uchun berilgan yuzani

nurlar bilan n ta ixtiyoriy qismlarga bo’lamiz. O’tkazilgan nurlar orasidagi burchaklarni bilan belgilaymiz.

bilan orasidagi biror burchakka mos nurning uzunligini orqali belgilaymiz. Radiusi va markaziy burchagi bo’lgan doiraviy sektorni qaraymiz. Uning yuzi gat eng bo’ladi.

Ushbu yig’indi

Zinapoyasimon sektorning yuzini beradi.

Bu yig’indi kesmada funksiyaning integral yig’indisi bo’lgani sababli uning limiti da aniq integralga teng. Bu burchak ichida qanday ning olishimizga bog’liq emas. Demak, OAV sektorning yuzi:

(7)

4-misol. kardioida bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang.

S₁

2a

5-rasm

(kv. birlik)