Ar amallar ham tushuniladi

ko‘rinishida bo‘lib, bu to‘plam ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi. Ya’ni (U_n, ·_n) kommutativ gruppa.
Endi gruppaning ba’zi sodda xossalarini o‘z ichiga olgan qiyudagi tasdiqni keltiramiz.
1.1-tasdiq. Ixtiyoriy (G, ∗) gruppa uchun quyidagilar o‘rinli:
1) Gruppaning birlik elementi yagona.
2) Ixtiyoriy a ∈ G element uchun yagona teskari element mavjud.
3) Ixtiyoriy a ∈ G element uchun (a⁻¹)⁻¹ = a.
4) Ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun (a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹.
Isbot. 1) Faraz qilaylik (G, ∗) gruppada ikkita e₁ va e₂ birlik elementlar mavjud bo‘lsin. U holda e₁ ∗ e₂ ko‘paytmani qarasak, e₁ element birlik element bo‘lganligi uchun e₁ ∗ e₂ = e₂. Ikkinchi tomondan esa, e₂ element birlik element bo‘lganligi uchun e₁ ∗ e₂ = e₁. Demak, e₁ = e₂.
2) Faraz qilaylik a ∈ G element uchun ikkita teskari element mavjud bo‘lsin, ya’ni shunday b, c ∈ G elementlar mavjud bo‘lib,
a ∗ b = b ∗ a = e, a ∗ c = c ∗ a = e
bo‘lsin. Quyidagi tengliklardan b va c elementlarning tengligini hosil qilamiz:
b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ c) = (b ∗ a) ∗ c = e ∗ c = c.
Demak, a elementga teskari element yagona.
3) a ∈ G elementning teskarisi a⁻¹ bo‘lganligi uchun a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = e.
Faraz qilaylik, b ∈ G element a⁻¹ ga teskari element bo‘lsin. U holda b ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ b = e.
Bu tengliklardan biz a va b elementlar a⁻¹ ga teskari element ekanligini hosil qil-amiz. 2)-xossaga ko‘ra ixtiyoriy elementning teskari elementi yagona bo‘lganligi uchun b = a ekanligi kelib chiqadi. b element a⁻¹ ning teskarisi ekanligidan (a⁻¹)⁻¹ = a bo‘ladi.
4) Bizga a, b ∈ G elementlar berilgan bo‘lib, a⁻¹ va b⁻¹ elementlar ularning teskari elementlari bo‘lsin, ya’ni
a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = e, b ∗ b⁻¹ = b⁻¹ ∗ b = e.
Quyidagi tengliklarni qaraymiz
(a ∗ b) ∗ (b⁻¹ ∗ a⁻¹) = (a ∗ (b ∗ b⁻¹)) ∗ a⁻¹ = (a ∗ e) ∗ a⁻¹ = a ∗ a⁻¹ = e.
(b⁻¹ ∗ a⁻¹) ∗ (a ∗ b) = (b⁻¹ ∗ (a⁻¹ ∗ a)) ∗ b = (b⁻¹ ∗ e) ∗ b = b⁻¹ ∗ b = e. Ushbu tengliklardan a ∗ b elementning teskarisi b⁻¹ ∗ a⁻¹ ekanligi kelib chiqadi,
ya’ni
(a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹.

Endi gruppaning tartibi va gruppa elementi tartibi tushunchalarini kiritamiz. 1.4-ta’rif. Agar G gruppaning elementlari soni chekli bo‘lsa, u holda G gruppa chekli gruppa deyiladi. Chekli gruppaning elementlari soni uning tartibi deyi-ladi va |G| kabi belgilanadi. Elementlari cheksiz ko‘p bo‘lgan gruppalar cheksiz gruppalar deyiladi.

Bizga (G, ∗) gruppa va uning a ∈ G elementi berilgan bo‘lsin. Ushbu elementning darajalarini quyidagicha aniqlaymiz:
a⁰ = e,
aⁿ = aⁿ⁻¹ ∗ a, n ≥ 1, aⁿ = (a⁻¹)⁻ⁿ, n < 0.
Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy k, s butun sonlar uchun a^k ∗a^s = a^k+s tenglik o‘rinli. Agar qandaydir k, s (k > s) butun sonlar uchun a^k = a^s, tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda a^k−s = e munosabatga ega bo‘lamiz.
1.5-ta’rif. G gruppaning a ∈ G elementi uchun aⁿ = e shartni qanoatlantiruv-chi natural sonlarning eng kichigiga berilgan elementning tartibi deb ataladi. Agar aⁿ = e shartni qanoatlantiruvchi natural son mavjud bo‘lmasa, u holda bu elementning tartibi cheksizga teng deb ataladi. Berilgan a ∈ G elementning tartibi ord(a) kabi belgilanadi.
1.8-misol. (Z₆, +₆) gruppani qarasak, bu gruppaning tartibi 6 ga teng, ya’ni |Z₆| = 6 hamda
ord(0) = 1, ord(1) = 6, ord(2) = 3, ord(3) = 2, ord(4) = 3, ord(5) = 6.
1.9-misol. M = {1, i, −1, −i} to‘plam ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qilib,
ord(1) = 1, ord(i) = 4, ord(−1) = 2, ord(−i) = 4.
Gruppada assosiativlik xossasi o‘rinli bo‘lganligi uchun, a₁, a₂, . . . , a_n element-larni ko‘paytirishda qavslarning qo‘yilishi ahamiyatli emas, shuning uchun odatda chapdan qo‘yilgan qavslar ishlatilib, ko‘paytma (. . . ((a₁ ∗ a₂) ∗ a₃ . . . ) ∗ a_n) kabi yoziladi.
Bundan tashqari gruppalar uchun quyidagi xossalar ham o‘rinli bo‘lib, biz ularni isbotsiz keltirib o‘tamiz.
1.2-tasdiq. (G, ∗) gruppadagi ixtiyoriy a, b, c ∈ G elementlar uchun quyidagilar o‘rinli:
1) a ∗ x = b tenglama yagona yechimga ega bo‘lib, x = a⁻¹ ∗ b bo‘ladi. 2) x ∗ a = b tenglama yagona yechimga ega bo‘lib, x = b ∗ a⁻¹ bo‘ladi.
3) a ∗ b = a ∗ c yoki b ∗ a = c ∗ a tenglikdan b = c kelib chiqadi.
4) agar a² = a bo‘lsa, u holda a = e bo‘ladi.

Quyidagi teoremada gruppaning elementi tartibi bilan bo‘g‘liq bo‘lgan asosiy xossalarni keltiramiz.

1.1-teorema. Aytaylik, G gruppaning a ∈ G elementi uchun ord(a) = n bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli:
1) Agar qandaydir m natural son uchun a^m = e bo‘lsa, u holda m soni n ga bo‘linadi.

Isbot. 1) Aytaylik, m = qn + r bo‘lsin, bu yerda 0 ≤ r < n. U holda a^r = a^m−qn = a^m ∗ a^−qn = a^m ∗ (aⁿ)^−q = e.

Berilgan elementning tartibi n ga teng bo‘lganligi uchun n soni aⁿ = e shartni qanoatlantiruvchi eng kichik natural son. a^r = 0 va 0 ≤ r < n ekanligidan esa, r = 0 kelib chiqadi, ya’ni m soni n ga qoldiqsiz bo‘linadi.
1.11-misol. Tartibi juft songa teng bo‘lgan gruppada a² = e shartni qanoat-lantiruvchi a 6= e element mavjud ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Bizga G gruppa beringan bo‘lib, |G| = 2n bo‘lsin. Ma’lumki, agar qandaydir a ∈ G element uchun a⁻¹ = a bo‘lsa, u holda a² = e bo‘ladi.
A = {g ∈ G | g⁻¹ 6= g} to‘plamni qaraymiz. Ma’lumki, e ∈/ A bo‘lib, A to‘plamda yotuvchi biror elementning teskarisi ham shu to‘plamda yotadi. Demak, A to‘plamning elementlari soni juft son bo‘lib, A 6= G. Bundan esa, A to‘plamda yotmaydigan birlik elementdan farqli, a ∈ G element mavjudligi kelib chiqadi, ya’ni a 6= e, a⁻¹ = a. Demak, a² = e.