Асимметрия коэффициенти

3.Tanlanmaning oʻrtacha qiymati, dispersiyasi va asimmetriya koeffeitsiyentini hisoblashning sodda usullari.
Tanlanma harakeristikalarini hisoblashning soddalashtirilgan usullari X_i variantalarni uncha katta boʻlmagan I_i butun sonlar-shartli variantalarga almashtirishga asoslangan. X_i boshlangʻich variantadan I_i shartli variantalarga oʻtish ushbu

I_i=

tenglik orqali amalga oshiriladi; bu yerda “S-soxta nol” (yangi hisob boshi), h-qadam, yaʼni ikkita qoʻshni varianta orasidagi ayirma (yaʼngi masshtab birligi).

Agar variatsion qator h qadam bilan teng uzoqlikda boʻlgan variantalardan tashkil topgan boʻlsa, u vaqtda shartli variantalar butun sonlardan iborat boʻlishini koʻrsatish mumkin. Soxta nol sifatida, odatda, takrorlanishi eng koʻp boʻlgan X_m varianta olinadi.
K-tartibli shartli statistik moment deb, shartli variantalar uchun hisoblangan

α

k-tartibli boshlangʻich momentni aytamiz. Bir xil tartibli boshlangʻich va shartli momentlar orasidagi bogʻlanishni topamiz:


(22)
Bundan α
boʻladi.
Shunday qilib, K-tartibli boshlangʻich statistik molinti topish uchun K-tartibli shartli momentni h^kga koʻpaytirish kifoya. Jumladan,

Bundan, (23)

Shunday qilib, tanlanma oʻrtacha qiymatni topish uchun birinchi tartibli shartli momentni topib, uni h ga koʻpaytirish va natijaga soxta nolni qoʻshish kifoya.

Markaziy momentlarni bevosita hisoblash uzundan –uzoq boʻlgani uchun markaziy momentlarni boshlangʻich momentlar orqali ifodalovchi (19¹), (20) va (21) formulalardan fiydalanishni oldin koʻrib oʻtgan edik. Shu tengliklar va (22) munosabatdan foydalanib, markaziy momentlarni hisoblash uchun qulay boʻlgan ushbu

M₂=(α (24)

M₃= (25)

Formulalarni hosil qilamiz.

Jumladan, tanlanma dispersiyani birinchi va ikkinchi tartibli shartli momentlar boʻyicha hisoblash uchun


(26)
formulani hosil qilamiz.
Asimmetriya koyeffitsentini hisoblash uchun esa


(27)

formulani hosil qilamiz.

Koʻpaytma usul deb ataladigan bu usul teng uzoqlikda joylashgan variantalardan iborat variatsion qatorning turli tartibli shartli momentlarini hisoblash uchun qulaydir.
Shartli momentlarni bilgan holda bizni qiziqtiruvchi boshlangʻich va markaziy statistik momentlarni hisoblash qiyin emas. Jumladan, koʻpaytma usuli bilan tanlanmaning arifmetik oʻrtacha qiymati, dispersiyasi va asimmetriya koeffitsiyentini hisoblash qulay.
Quyidagi tartibda tuzulgan hisoblash jadvalidan foydalanish maqsadiga muvofiqdir:

1. 
   variantalarni oʻsish tartibida jadvalning birinchi ustuniga yoziladi:
   
2. 
   variantalarning takrorlashlarini ikkinchi ustunga yoziladi; hamma takrorlanishlar jamlanadi va ularning jamini (tanlanmaning hajmi P ni) ustunning ostki katagiga yoziladi;
   
3. 
   shartli variantalarni uchinchi ustunga yoziladi, bunda S soxta nol sifatida eng koʻp takrorlangan varianta olinadi va ixtiyoriy ikkita qoʻshni varianta orasidagi ayirma h deb olinadi; uchunchi ustun amalda bunday toʻldiriladi: engtakrorlangan varianta boʻlgan satrning katagida 0 yoziladi, nolning ustidagi kataklarga birin-ketin -1,-2,-3, va xokazo, nolning ostidagi kataklarga esa 1,2,3 va xokazo yoziladi.
   
4. 
   Shartli variantalarni takrorlash sonlariga koʻpaytiriladi va ularning n_i i_i koʻpaytmalari toʻrtinchi ustunga yoziladi; hosil boʻlgan hamma sonlarni koʻshib, ularning Σ n_i yigʻindisi ustunning eng pastki katagiga yoziladi;
   
5. 
   takrorlanish sonlarini shartli variantalarning kvadaratlariga koʻpaytiriladi va n_i i_i² koʻpaytmalar beshinchi ustunga yoziladi; hosil boʻlgan hamma sonlarni qoʻshib, ularning Σ n_i yigʻindisi ustunning eng pastki katagiga yoziladi;
   
6. 
   oltinchi ustunni toʻldirish uchun 3 va 5 ustunlarning har bir satridagi sonlarni koʻpaytirib chiqish qulaydir; hosil boʻlgan hamma sonlarni qoʻshib, ularning Σ n_i i_i³ yigʻindisi ustunning eng pastki katagiga yoziladi;
   
7. 
   7-ustun hisoblashlarni
   

ayniyat orqali tekshirish uchun xizmat qiladi.

Arifmetik oʻrtacha qiymat, dispersiya va asimmetriya keltirilgan taqsimot misolida koʻrib oʻtaylik. Bu misolda soxta nol sifatida S =30 varantani olamiz; h qadam 3 ga teng. Natijada 21-hisoblash jadvalini hosil qilamiz.

Nazorat qilish:

Demak, hisoblashlar toʻgʻri bajarilgan.

Shartli boshlangʻich momentlarni topish uchun hosil boʻlgan umumiy natajalarni toʻplam hajmiga boʻlish kerak.
Misolimizda

Endi (24) va (25) formulalar boʻyicha markaziy momentlarni topamiz.

21-jadval

Xi	Ni	Ii	Ii · Ni	Ni· Ii^2	Ni· Ii^3	Ni (Ii+1)^3
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)
9	8	-7	-56	392	-2744	-1728
12	12	-6	-72	432	-2592	-1500
15	21	-5	-105	525	-2625	-1344
18	33	-4	-132	528	-2112	-891
21	56	-3	-168	504	-1512	-448
24	98	-2	-196	392	-784	-98
27	183	-1	-183	183	-183	0
30	256	0	0	0	0	256
33	214	1	214	214	214	1712
36	97	2	194	388	776	2619
39	22	3	66	198	595	1408
-			-912 +474		-12552 +1585	-6009 +5995
jami	1000		-438	3756	-10968	-14

Nihoyat quyidagi natijalarga ega boʻlamiz:

Hisoblashning soddalashtirilgan usulini koʻrsatish maqsadida Belotserkavskaya 198 navli bugʻdoy boshogʻi oʻzagi uzunligining oʻzgaruvchanligi natijasida boshoq oʻzagining uzunligini sm hisobida koʻrsatuvchi quyidagi sonli qator hosil boʻlgan:

5,9 7,5 8,7 8,5 9,6 8,4 7,7 8,6 6,3 5,7 8,4 8,8 8,2 8,9 8,4 8,7

7,3 6,5 6,0 9,0 9,1 8,6 9,0 9,0 6,5 7,9 6,8 6,7 9,5 9,7 8,8 9,9
8,6 7,0 8,2 6,9 7,0 9,6 10,0 10,0 7,2 8,5 7,5 8,5 7,1 7,2 9,8 7,8
7,9 7,6 8,2 7,9 8,9 6,9 7,5 8,5 8,8 8,2 7,5 8,5 7,8 8,0 7,3 9,1
7,7 9,2 8,5 7,5 8,5 8,0 8,1 10,6 9,1 8,0 9,5 8,5 7,4 8,3 8,0 8,2

Hammasi boʻlib 80 ta varianta endi bu toʻplamni guruhlarga ajratamiz. Bizning misolda X_max =10,6 va X_min =5,7. Guruhlar sonini K=10 deb olamizb u holda guruhlar oraligʻi kengligi

Toʻplamni guruhlarga ajratish natijasida 22-jadval hosil boʻladi.

22-jadval

Guruhlarning chegaralari	Variantalarni gurhlarga tarqatish	Takrorlanish soni
5,65-6,15	111	3
6,15-6,65	111	3
6,65-7,15	1111 111	7
7,15-7,65	1111 1111 111	11
7,65-8,15	1111 1111 1111	12
8,15-8,65	1111 1111 1111 1111 1111	20
8,65-9,15	1111 1111 1111 1	13
9,15-9,65	1111 1	5
9,65-10,15	1111 1	5
10,15-10,65	1	1
Jami		80

Har bir guruh uchun uning oʻrtacha qiymati olinib, 22-jadavaldan 23-jadval hosil qilinadi. 23-jadvalda berilgan taqsimot uchun arifmetik oʻrtacha qiymat, dispersiya va asimmetriya koeffitsiyentini koʻpatma usulida hisoblaymiz. Soxta nol siftaida 8,4 sonini olamiz, h qadam 0,5 ga teng; natijada 24-hisoblash jadvalni hosil qilamiz.
23-jadval

Xi	5,9	6,4	6,9	7,4	7,9	8,4	8,9	9,4	9,9	10,4	Jami
Ni	3	3	7	11	12	20	13	5	5	1	80

24-jadval