Ayirish va bo`lishning ta'rifi. Nolga bo`lishning mumkin emasligi. Qoldiqli bo`lish. Reja

Ayirish amali quyidagi xossalarga ega:

1°. Agar ikki sonning ayirmasiga ayiriluvchi qo’shilsa, kama-yuvchi hosil bo’ladi, ya ‘ni a - b = c bo’lsa, a = b + c bo’ladi.

Isbot. Ta’rifga asosan a = b + c yoki c + b = a. Lekin

c = a- b⇒c + b = (a-b) + b = a.

2°. Agar ikki son yig’indisidan qo’shuvchilardan biri ayirilsa, ikkinchi qo’shiluvchi hosil bo’ladi, ya’ni

(∀a, b∈N)[(a + b) - b = a].

3°. Berilgan songa ikki sonning ayirmasini qo’shish uchun kamayuvchini qo’shib, ayiriluvchini ayirish kifoya, ya’ni

(∀a, b, c∈N)[a + (b - c) = (a + b) - c].

4°. Berilgan sondan yig’indini ayirish uchun bu sondan qo ‘shiluvchilarni birin-ketin ayirish kifoya, ya ‘ni

(∀a, b, ∈N)[(a - (b + c) = a — b — c].

5°. Berilgan sondan ayirmani ayirish uchun kamayuvchini ayirib, ayiriluvchini qo’shish kifoya, ya ‘ni

(∀a, b, c∈N)[a - (b - c) = (a - b) + c].

Natural sonlarni bo’lish ta’rifi va xossalari.

2-ta’rif. Ikki ko’paytuvchining ko’paytmasi va bir ko’paytuvchi berilgan holda ikkinchi ko’paytuvchini topish amali bo’lish amali deyiladi.

Bunda berilgan ko’paytmani ifodalovchi son — bo’linuvchi, berilgan ko’paytuvchi — bo’luvchi, izlanayotgan ko’paytuvchi — bo’linma deyiladi.

Agar a — ko’paytma, b — berilgan ko’paytuvchi, c — izlanayotgan ko’paytuvchi bo’lsa, u bo’lish amali yordamida = cyokia: b = c ko’rinishda belgilanadi. Ta’rifdan ko’rinadiki, bo’lish amali ko’paytirish amaliga teskari amal ekan.

Bo’lishamali bir qiymatlidir. Masalan, a) 9:3=3; b) 21:7=3; d) 111:3=37.

Bo’lish amali quyidagi xossalarga ega.

1°. Ko’paytmani noldan farqli biror songa bo’lish uchun ko’paytuvchilardan birini shu songa bo’lish kifoya, ya’ni (a• b):c=(a:c)b, bunda a:cbo’ladi, ya’ni a soniga butun marta bo’linadi.

Isbot. (a • b) : c = x desak, a • b = c• x. Lekin, (a : b) • c = x bo’ladi.

U holda (a : c)•cb = cx⇒(a : c) • b = x⇒(a : c) • b = (ab): c bo’ladi.

2°. Biror sonni ikki sonning bo’linmasiga ko’paytirish uchun shu sonni bo’linuvchiga ko’paytirish va hosil bo’Igan ko’paytmani bo’luvchiga bo’lish kifoya, ya’ni (∀a, b, c∈N)[a(b: c) = (ab): c).

Isbot. a •(b : c) = xbo’lsin.

Tenglikning ikkala tomonini c ga ko’paytirsak, a • (b : c) • c = xc bo’ladi.

Lekin (b : c) • c = bbo’ladi. Bundan ab = xc. U holda ta’rifga asosan (ab): c = xbo’ladi. Demak, (ab): c = a • (b : c).

3°. (∀a, b, c∈N)[a: (b•c) = (a : b): c = (a :c):b].

Isbot. a(b : c) = x desak, a = bc•xbo’ladi. Tenglikning ikkala tomonini b ga bo’lsak a:b = c•xbo’ladi. U holda bo’lish ta’rifga asosan (a:b):c= xbo’ladi.

Demak, (a:b): c = (a :c): bbo’ladi.

4°. (∀a, b, c∈N)[a :(b : c) = ac : b].

Isbot. a(b : c) = x desak, a = (b : c) • xbo’ladi. U holda tenglikning ikkala tomonini cga ko’paytirsak, a•c=[(6 : c) • c] • x bo’ladi. Bunda (b:c)• c = b ekanligidan a•c = b•xbo’ladi. Bundan (a•c):b = xbo’ladi. Demak, a(b : c) = (ac): b.

5°. (∀a, b∈N₀, c∈N)(a : c∧b : c)⇒[(a + b): c = a :c+ b :c].

Isbot. (a + b): c = xbo’lsin. U holda a = (a : c) • c va b = (b : c)•c. Bundan (a : c)•c + (b : c) • c = cx yoki [(a : c) + (b :c)] : c = cx yoki a:c+b:c = x. Bundan a : c + b : c = (a + b): cbo’ladi.

6°. (∀a, b∈N₀, ∀_c∈N)(a :c∧a b :c)⇒(a - b): c = a : c- b : c .

Isbot. (a - b): c = x desak, a - b = cxbo’ladi. a = (a : c) • c va b=(b:c)•c desak, (a : c) • c - (b : c) • c = cx, bundan [(a : c) -(b : c)] : c =cx. U holda tenglikning ikkala tomonini c ga bo’lsak, a : c—b : c= x. Demak, a : c - b : c = (a - b): c.

Nazorat savollari.

1. 
   Ayirish va bo`lishning ta'riflarini ayting.
   
2. 
   Sonni nolga bo`lib bo`lmasligini tushuntiring.
   
3. 
   Qachon qoldiqli bo`lish bajariladi?
   

Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati

Asosiy adabiyotlar

1. 
   Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon-iqbol, 2007. 363b.(73-81 betlar)
   

Qo‘shimcha adabiyotlar

1. 
   Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (143-148 betlar)
   

Ayirish amalining ta'rifi. Ayirish amalining xossalari.

Reja:

1. 
   Ayirish amalining ta'rifi.
   
2. 
   Ayirish amalining xossalari.
   

Butun nоmanfiy va sоnlarning ayirmasi dеb, shunday butun nоmanfiy sоnga aytiladiki, uning sоn bilan yig`indisi sоnga tеng bo`ladi. .

Shunday qilib, yozuvda -kamayuvchi, -ayriluvchi, -ayirma dеb ataladi.

Ayirish amali qo`shishga tеskari amaldir.

Ayirish amalining xossalari.

1. 
   (а+b)-с= a- c +b
   
2. 
   a-(b+c)=a-b-c
   
3. 
   (a+b)-(c+d)=(a-c)+(b-d)
   
4. 
   (a-b)-(c+d)=a-b-c-d
   
5. 
   (a+b)-(c-d)=a+b+d-c
   
6. 
   (a-b)-(c-d)=a-b-c+d
   

1. 
   Amallarni bajaring.
   

32787 - 1203:401-405

848∙13 -128∙13-720∙11

6351 -143-208

(71763 - 41237 -16) : 32

2. 
   Amallarni bajaring.
   

2175-455-295 - 285

121314:112

775-792+675 - 641

194175:155

97566612-8788

64164260-1275

17181620-253040

15161718-252627

3) Amallarni bajaring.

a) 17+18 b) 689-17 v) 9∙8 g) 9999:11

17541 - 8720 751-579 17∙7 17017:17

4) Amallarni bajaring.

a) 764 675-758942

b) 72213 - 44732

с) 2713 – 1478-91514 – 14379

Bo`lish amalining ta'rifi. Nolga bo`lishning mumkin emasligi. Qoldiqli bo`lish.

Reja:

3. 
   Bo`lishning ta'rifi.
   
4. 
   Nolga bo`lishning mumkin emasligi.
   
5. 
   Qoldiqlibo`lish.
   

Bo‘lishning ta’rifi

Nоmanfiy butun sоnlar to‘plamida bo‘lish amalini ta’riflash uchun to‘plamni sinflarga ajratish tushunchasidan fоydalanamiz. a=n(A)A to‘plamni juft-jufti bilan kеsishmaydigan tеng quvvatli sinflarga ajratish mumkin bo‘lsin. Butun nоmanfiy a sоnning natural b sоnga bo‘linmasi quyidagicha ta’riflanadi:

Ta’rif: Agar b sоn A to‘plamni bo‘lishdagi har bir qism to‘plam elеmеntlari sоni bo‘lsa, u hоlda a va b sоnlarning bo‘linmasi dеb bu bo‘linmadagi qism to‘plamlar sоniga aytiladi. Nоmanfiy butun a va b sоnlar bo‘linmasini tоpish amali bo‘lish, a – bo‘linuvchi, b – bo‘luvchi, a:b - bo‘linma dеyiladi. Yuqоridagi ta’riflarni misоllar yordamida tushuntiramiz. Misоl: 12 ta gilоsni har biriga 3 tadan nеchta bоlaga tarqatishdi. Masala savоliga javоb bo‘lish оrqali tоpiladi 12:3=4

Bo`lish amalining qoidalari.

a:(bc)=(a:b):c=(a:c):b

a(b:c)= (ab):c

(a:b):c=a: (cb)

(a+b):c=a:c+b:c

(ab):c=a:cb

Misоllar:

1. 
   (220+140):10=220:10+140:10=22+14=36;
   
2. 
   240: (10×2)=(240:10):2=24:2=12;
   
3. 
   12×(30:15)=(12×30):15=360:15=24
   

Misоllar.

4. 
   (220+140):10=220:10+140:10=22+14=36;
   
5. 
   240: (102)=(240:10):2=24:2=12;
   
6. 
   12(30:15)=(1230):15=360:15=24.
   
7. 
   1 dan 25 gacha bo‘lgan natural sonlar qatoridagi 6 ga bo‘linmaydigan natural sonlar to’plamini tuzing.
   
8. 
   1 dan 25 gacha bo‘lgan natural sonlar qatoridagi 7 ga bo‘linadigan natural sonlar to’plamini tuzing.
   
9. 
   15 121, 117 342, 1 897 524, 2 134 579, 31 445 698 sonlari orasidan 6 ga bo‘linadigan natural sonlar to’plamini tuzing.
   
10. 
    Ikkita ketma – ket toq sonlarning yig‘indisi 4 ga bo‘linishini isbotlang.
    
11. 
    1234xy soni 8 ga va 9 ga bo‘linsa, x va y raqamlarni toping.
    
12. 
    13 ga bo‘linish belgisini chiqaring.
    
13. 
    Hisoblang
    

1. 
   4,735 : 0,5 + 14,95 : 1,3 - 2,121 : 0,7;
   
2. 
   589,72 : 16 - 18,305 : 7 + 0,0567 : 4;
   
3. 
   3,006 - 0,3417 : 34 - 0,875 : 125;
   
4. 
   22,5 : 3,75 + 208,45 - 2,5 : 0,004.
   

14. 
    To’qish to’garagiga 12 o’quvchi qatnashadi, naqsh to’garagiga qatnashuvchilar undan 3 marta kam. Naqsh to’garagiga nechta o’quvchilar qatnashadi?
    
15. 
    Bitta paltoga 6 ta tugma qadaladi. 24 ta shunday palto uchun nechta tugma kerak bo’ladi?
    
16. 
    Nigorada 5 ta rangli qalambor, Sardorda undan 3 marta ko’p. Sardorda nechta qalam bor?
    
17. 
    10 ta daftar 5 o’quvchiga teng bo’lib berildi. Har bir o’quvchi nechtadan daftar olgan?
    
18. 
    Durdona 12 tuvakda gul o’stirmoqda. Hilolaning gullari undan 3 marta kam. Hilolada nechta gulbor?
    
19. 
    Quyidigilarni hisoblang:
    

1. 
   78•29+6 573:313-408
   
2. 
   477•85-7 784:56+ 10 809
   
3. 
   5 871:103+(247-82):5-1
   
4. 
   (395•52-603) •25-960•24
   
5. 
   [28•105+7 236:18-(4 247-1 823):6] •25
   
6. 
   1 092 322:574+152•93-(96•125-82 215:9)
   
7. 
   79 348-64•84:28+6 539:13-11 005
   
8. 
   {37 037 000:[(777 777 •9+7): 4 375+1 900]+8 547}:407
   

20. 
    Bo’lishni bajaring.
    

1)787:23 2)1134:42 3)8610:246

4)77000:25 5)75500:25 6)142524:321

7)1964800:64 8)7566000:78 9)2458763:307

1-variant.

Bo`linmaning ta’rifi asosida 24:4 ni tushuntiring.

24:4 ifoda bilan yechiladigan 2 xil masalani tuzing.

2-variant.

Bo`linmaning ta’rifi asosida 16:4 ni tushuntiring.

16:4 ifoda bilan yechiladigan 2 xil masalani tuzing.

3-variant.

Bo`linmaning ta’rifi asosida 36:6 ni tushuntiring.

36:6 ifoda bilan yechiladigan 2 xil masalani tuzing.

4-variant.

Bo`linmaning ta’rifi asosida 12:4 ni tushuntiring.

12:4 ifoda bilan yechiladigan 2 xil masalani tuzing.

5-variant.

Bo`linmaning ta’rifi asosida 25:5 ni tushuntiring.

25:5 ifoda bilan yechiladigan 2 xil masalani tuzing.

6-variant.

Bo`linmaning ta’rifi asosida 24:3 ni tushuntiring.

24:3 ifoda bilan yechiladigan 2 xil masalani tuzing.
42-mavzu. Ayirish va bo`lishning ta'rifi. Nolga bo`lishning mumkin emasligi. Qoldiqli bo`lish.

Key words	Ключевые понятия	Kalit so’z
The definition of difference	Определение разности	Ayirish ta’rifi
The definition of division	Определение деления	Bo’lish ta’rifi
Division with remainder	Деление с остатком	Qoldiqli bo’lish
Minuend	Уменьшаемое	Kamayuvchi
Subtrahend	Вычитаемое	Ayiriluvchi
Difference	Разность	Ayirma
Division	Деление	Bo’lish
Dividend	Делимое	Bo’linuvchi
Divisor	Делитель	Bo’luvchi
Quotient	Частное	Bo’linma