Chegaralanmagan funksiya xosmas integralining xossalari Quyida maxsus nuqtasi b bo‘lgan f(x) funksiyaning [a;b) oraliq bo‘yicha olingan xosmas integralining xossalarini keltiramiz. Bu xossalarni maxsus nuqtasi a bo‘lgan funksiyaning (a;b] oraliq bo‘yicha olingan xosmas integrallari uchun ham bayon qilish mumkin.
10. Agar f(x) funksiyaning [a;b) dagi xosmas integrali yaqinlashuvchi bo‘lsa, bu funksiyaning [c;b), (a) oraliq bo‘yicha integrali ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bunda
(x)dx = (x)dx + (x)dx tenglik o‘rinli bo‘ladi.
20. Agar (x)dx va integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy , sonlar uchun
integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib,
=
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
30. Agar (x)dx integral yaqinlashuvchi bo‘lib, [a;b) da f(x) 0 bo‘lsa, u holda
(x)dx0
bo‘ladi.
40. Agar (x)dx va (x)dx integrallar yaqinlashuvchi bo‘lib, [a;b) da f(x) (x) bo‘lsa, u holda
(x)dx (x)dx bo‘ladi.
50. f(x) va (x) funksiyalar [a;b) da uzluksiz bo‘lib, b esa ularning maxsus nuqtasi va 0 f(x)(x), x[a;b) bo‘lsin. U holda
a) (x)dx yaqinlashuvchi bo‘lsa, (x)dx ham yaqinlashuvchi bo‘ladi;
b) (x)dx uzoqlashuvchi bo‘lsa, (x)dx ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Misol tariqasida 30 xossaning isbotini keltiramiz. Qolgan xossalar bevosita xosmas integral va uning yaqinlashuvchiligi ta’riflaridan kelib chiqadi.
30 xossaning isboti. Aniq integralning xossalariga asosan f(x)0 bo‘lsa, ixtiyoriy t[a;b) uchun (x)dx 0 bo‘ladi. Bundan
(x)dx = (x)dx 0
ekanligi kelib chiqadi.