Ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə

İki ölçülü paylanma funksiyasının xassələri

1. 
   Paylanma funksiyasının qiymətlər oblastı 0,1 parçasıdır:
   

0  F x, y  1
Xassənin doğruluğu bilavasitə paylanma funksiyasının tərifindən alınır.Belə ki, ehtimal həmişə mənfi olmayan və vahidi aşmayan ədəddir.

2. 
   F ^x, y^paylanma fuknksiyası hər bir arqumentə görə azalmayan
   

funksiyadır, yəni
x₁  x₂

olduqda

F x₁, y  F x₂, y;

y₁  y₂
olduqda
F x, y₁  F x, y₂ 

F ^x, y^- funksiyasının ^x arqumentinə görə azalmayan olduğunu göstərək:

^{Qeyd edilmiş} y ^{üçün X  x2,Y  y}
hadisəsini uyuşmayan iki

X  x₁,Y  y,x₁  X  x₂ ,Y  y
hadisələrinin cəmi şəklində göstərmək olar.Ehtimalların toplama teoreminə əsasən
PX  x₂ ,Y  y  PX  x₁,Y  y Px₁  X  x₂ ,Y  y

Buradan,
Fx₂ , y Fx₁, y  Px₁  X  x₂ ,Y  y  0

Beləliklə,
x₁  x₂ olduqda
F x₁, y  F x₂ , y olar.

Bu xassə paylanma funksiyasının həndəsi mənasından daha aydın

olur.Belə ki,
F x, y, X ,Y 
təsadüfü vektorunun təpə nöqtəsi x, y
olan

kvadrantına düşməsi hadisəsinin ehtimalıdır. ^x -in artması ilə bu kvadrantın

sağ sərhədi sağa hərəkət edir.Yəni,
x₁  x₂ olduqda təpə nöqtəsi x₁, y
olan

kvadrant təpə nöqtəsi x₂ , y olan kvadranta daxildir. Ona görə də X ,Y  təsadüfü

vektorunun təpə nöqtəsi x₂, y
olan kvadranta düşməsi hadisəsinin ehtimalı,

onun təpə nöqtəsi x₁, y
kiçik deyildir.
olan kvadranta düşməsi hadisəsinin ehtimalından

Eyni qayda ilə
F x, y
funksiyasının ikinci arqumentə görə də azalmayan

olduğunu göstərmək olar.

3. 
   Aşağıdakı limit münasibətləri doğrudur:
   

1) x    F ^x, y^  F ^ , y^  0; y    F ^x,^  0
2) x  , y    F^x, y^  F ^ ,^  0
3) x  , y    F ^x, y^  F ^,^  1
4) x    F x, y  F .y  F_Y y  F₂ y

5)
X  ,Y  y
y    F x, y  F x,  F_X x  F₁y
hadisəsi mümkün olmayan hadisədir.Ona görə də

F  , y  PX  ,Y  y  0

x  
olduqda təpə nöqtəsi x, y
olan kvadrantın sağ sərhəddi sonsuz

olaraq sola hərəkət edir və X ,Y 
təsadüfü vektorunun bu kvadranta düşməsi

hadisəsinin ehtimalı sıfra bərabər olur.

Eyni qayda ilə Y  ,X  ,Y   hadisələri mümkün olmayan hadisələr

olduğu üçün
Fx,  F ,  0

Y  
hadisəsi yəqin hadisədir və X  x,Y  
hadisəsi X  x
hadisəsi ilə

eynigüclüdür. Ona görə də
F x,  PX  x  F_X x  F₁x

Eyni qayda ilə
F , y  PY  y  F_Y y  F₂ y

Təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikaları

1. 
   Yerləşmə və səpələnmə xarakterisnikaları.
   
2. 
   Riyazi gözləmə, moda və median
   
3. 
   Orta xətti meyl, dispersiya, orta kvadratik meyl, variasiya əmsalı. 4.Təsadüfü kəmiyyətlərin momentləri.
   

Yerləşmə və səpələnmə xarakterisnikaları
Təsadüfü kəmiyyətlərin ehtimalının paylanma qanunu onun tam xarakteristikası olduğu məlumdur.Lakin bəzən ehtimalın paylanma qanunu məlum olmur, təsadüfü kəmiyyətin müəyyən ehtimal xassələrini nisbətən az və ya sadə məlumatlar vasitəsilə öyrənmək lazım gəlir.Təsadüfü kəmiyyətin belə sadə xassələri, onun ədədi xarakteristikaları adlanan bir neçə ədədlə ifadə olunur.
Təsadüfü kəmiyyətin ədədi xarakteristikaları onu müəyyən dəqiqliklə kəmiyyətcə xarakterizə edir.Bu ədədi xrakteristikalar təsadüfü kəmiyyət haqqındakı bəzi ehtimal məsələlərini çox zaman qısa yolla həll etməyə və həm də həmin kəmiyyət haqqında yığcam və ətraflı məlumat almağa imkan verir.
Təsadüfü kəmiyyətin ala bildiyi qiymətlərin ədəd oxunda necə paylandığını xarakterizə etmək üçün müxtəlif ədədi xarakteristikalardan (riyazi gözləmə, orta xətti meyl, dispersiya , orta kvadratik meyl, momentlər və s.) istifadə olunur.
Tərif .Təsadüfü kəmiyyətin yerləşmə xarakteristikası elə sabitə deyilir ki, bu kəmiyyətin bütün mümkün qiymətləri həmin sabit ətrafında qruplaşmış olsun.
Riyazi gözləmə, moda və median ən çox istifadə olunan yerləşmə xarakteristikalarıdır.
Təsadüfü kəmiyyətin riyazi gözləməsi , onun qiymətlərinin ədəd oxu üzərində yerləşmə xarakteristikalarından biridir. Qeyd etdiyimiz kimi, təsadüfü kəmiyyətin mümkün qiymətləri onun riyazi gözləməsi ətrafında qruplaşır.Lakin bu qiymətlərin riyazi gözləmə ətrafında necə paylanmasını və ya səpələnməsini çox zaman bilmək tələb olunur.
Tərif . Təsadüfü kəmiyyətin mümkün qiymətlərinin onun riyazi gözləməsi ətrafında nə dərəcədə sıx səpələnməsinin ölçüsünü göstərən sabit ədədə bu kəmiyyətin səpələnmə xarakteristikası deyilir.
Bu xarakteristikalara orta xətti meyl, dispersiya, orta kvadratik meyl və variasiya əmsalı aiddir.

Riyazi gözləmə, moda və median

Təsadüfi kəmiyyətin ala bildiyi qiymətlərin ədəd oxu üzərində necə paylandığını xarakterizə etmək üçün müxtəlif ədədi xarakteristikalardan (riyazi gözləmə, dispersiya, orta kvadratik meyl, momentlər və s.) istifadə olunur. Təsadüfi kəmiyyətlərin ən mühüm ədədi xarakteristikalarından biri riyazi gözləmədir.

∞
∑ x_kP_k
k=1

(1)

sırası mütləq yığılan olduqda, onun cəminə diskret təsadüfi X kəmiyyətinin riyazi gözləməsi deyilir və aşağıdakı kimi işarə olunur:
∞

M^[X^] = ∑ x_kP_k
k=1

2. 
   

Təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsinə onun orta qiyməti də

n
deyilir. X təsadüfi kəmiyyəti x₁, x₂, … , x_n qiymətlərini eyni P= ¹
ehtimalı ilə

aldıqda onun riyazi gözləməsi üçün

bərabərliyi alınır.
M_[X_] = x₁ + x₂ + ⋯ + x_n
n

Ehtimalının paylanma sıxlığı P(x) olan təsadüfi X kəmiyyətinin riyazi gözləməsi, mütləq yığılan

inteqralına deyilir.
∞
M⁽X⁾ = ∫ xP⁽x⁾dx (3)
−∞

Təsadüfi kəmiyyətlərin riyazi gözləməsi sabit ədəddir. Riyazi gözləmənin bir sıra ümumi xassələri vardır:

1. 
   Sabitin riyazi gözləməsi özünə bərabərdir:
   

M^[C^] = C ⁽1⁾

2. 
   Sabitin vuruğu riyazi gözləmə işarəsi xaricinə çıxarmaq olar:
   

M^[CX^] = CM ^[X^] (2)

3. 
   Iki təsadüfi kəmiyyətin cəminin riyazi gözləməsi onların riyazi gözləmələrinin cəminə bərabərdir:
   

M^[X + Y^] = M ^[X^] + M^[Y^] (3)
Bu xassə istənilən sonlu sayda təsadüfi kəmiyyətlərin cəmi üçün də doğrudur: M^[X₁ + X₂ + ⋯ + X_n^] = M^[X₁^] + M^[X₂^] + ⋯ + M^[X_n^] (4)
Nəticə 1. Y=kX+b xətti funksiyası (təsadüfi kəmiyyət) üçün
M^[Y^] = kM^[X^] + b (5)
bərabərliyi doğrudur.
Nəticə 2. Iki təsadüfi kəmiyyətin fərqinin riyazi gözləməsi, onların riyazi gözləmələrinin fərqinə bərabərdir:
M^[X − Y^] = M ^[X^] − M^[Y^] (6)

4. 
   Asılı olmayan iki təsadüfi kəmiyyətin hasilinin riyazi gözləməsi, onların riyazi gözləmələrinin hasilinə bərabərdir:
   

M^[XY^] = M ^[X^]M^[Y^] (7)
Bu xassə istənilən sonlu sayda asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərin hasili üçün də doğrudur: M^[X₁X₂ … X_n^] = M^[X₁^] ∙ M^[X₂^] ∙ … ∙ M^[X_n^] (8)
(8) bərabərliyi riyazi gözləmənin multiplikativlik xassəsi adlanır.

5. 
   Istənilən X təsadüfi kəmiyyəti üçün
   

^|M^[X^]| ≤ M^[|X^|] (9)
bərabərsizliyi doğrudur.
Tutaq ki, X təsadüfi kəmiyyət və F(x) onun paylanma funksiyasıdır. Onda F⁽x_M⁾ ≤ 0,5 ≤ F⁽x_M + 0⁾ (1) münasibətini ödəyən hər bir x_M nöqtəsinə x kəmiyyətinin medianı deyilir. Verilmiş təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi olmaya bilər, lakin hər bir təsadüfi kəmiyyətin heç olmasa bir medianı var. Doğrudan da, paylanma funksiyası 0-dan 1-ə kimi monoton artan

M
olduğundan, elə x nöqtəsi vardır ki, funksiya bu nöqtədə ¹ qiymətindən keçir.
2
F(x) funksiyası bu nöqtə ətrafında kəsilməz olduqda x_M medianı yeganə olar,
həmin nöqtənin müəyyən ⁽α, β⁾ ətrafında yerləşən bütün nöqtələrdə F(x)= ¹
2
bərabərliyi ödənildikdə isə bu ətrafın bütün nöqtələri median olar. Paylanma funksiyası kəsilməyən olduqda (1) münasibəti F⁽x_M⁾ = 0,5 (2) bərabərliyinə çevrilir. Bu halda, X təsadüfi kəmiyyətinin medianı (2) bərabərliyini ödəyən yeganə x_M kökü olar.
(2) münasibətini P⁽X < x_M⁾ = P⁽X > x_M⁾ (3) bərabərliyi şəklində yazmaq
olar. (3) bərabərsizliyi göstərir ki, həndəsi olaraq median, sıxıq funksiyasının qrafiki ilə əhatə olunmuş sahəni yarıya bölən düz xətt nöqtələrinin absisidir (ş:1). Xüsusi halda, simmetrik paylanmış təsadüfi kəmiyyətin medianı onun riyazi gözləməsi ilə üst-üstə düşür. Paylanmanın (və ya təsadüfi kəmiyyətin) kvantili də mediana analoji olaraq təyin olunur.
F(x)=P(0< 𝑃 < 1)

tənliyinin kökünə P-tərtibli kvantil deyilir. P=¹
2
tərtibli kvantil paylanmanın

medianıdır. Tutaq ki, X kəsilməz təsadüfi kəmiyyətinin sıxlıq funksiyası P(x)- dir. Onda P(x) funksiyasının hər bir x_m maksimum nöqtəsinə X kəmiyyətinin modası deyilir. Təsadüfi kəmiyyətin bir modası olduqda ona birmodalı, bir neçə modası olduqda isə ona çoxmodalı kəmiyyət deyilir.