§3. DIFFERENSIALLANUVCHI FUNKSIYALAR HAQIDAGI ASOSIY TEOREMALAR.
Roll teoremasi.
Lagranj teoremasi.
Koshi teoremasi.
Roll teoremasi. Biz bu paragrafda kelgusida qaraladigan differensial hisobning amaliy tatbiqlarini asoslash uchun zarur bo‘ladigan teoremalarni keltiramiz. Dastlab farang matematigi M.Roll (1652-1719) tomonidan oldin ko‘phadlar, so‘ngra esa kengroq funksiyalar sinfi uchun isbotlangan ushbu teoremani qaraymiz.
1-TEOREMA (Roll teoremasi): Berilgan y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va uning ichki nuqtalarida differensiallanuvchi bo‘lib, chegaralarida teng qiymatlar qabul etsin, ya’ni f(a)=f(b) bo‘lsin. Bu holda shu kesma ichida kamida bitta shunday “c” nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiyaning hosilasi nolga teng, ya’ni f ′(c)=0 bo‘ladi.
Isbot: Bizga ma’lumki (VII bob, §4, Veyershtrass teoremasi), kesmada uzluksiz bo‘lgan funksiya shu kesmada o‘zining eng kichik m va eng katta M qiymatlariga erishadi.
Agar m=M bo‘lsa, u holda albatta f(x)=C (C-const) va f ′(x)=0 bo‘ladi, ya’ni teoremadagi tasdiq [a,b] kesmaning har bir nuqtasida bajariladi.
Endi m holni qaraymiz. Kesma chegaralarida funksiya qiymatlari o‘zaro teng bo‘lgani uchun, funksiyaning eng katta M va eng kichik m qiymatlaridan kamida bittasi [a,b] kesmaning ichki nuqtasida erishiladi.
Agar biror a<c<b nuqtada f(c) =M bo‘lsa, u holda, eng katta qiymat ta’rifiga asosan, ixtiyoriy x argument orttirmasi uchun f(c)=f(c+x)–f(c) < 0 bo‘ladi. Bu yerdan
,
ekanligi kelib chiqadi. Teorema shartiga asosan, qaralayotgan x=c nuqta [a,b] kesmaning ichki nuqtasi bo‘lgani uchun, f ′(c) hosila mavjuddir. Unda yuqoridagi tengsizliklardan , hosila ta’rifi va limit xossalariga asosan, quyidagi natijalarga kelamiz:
.
Ammo f′(c)0 va f ′(c)0 tengsizliklar faqat f ′(c)=0 bo‘lgan holda birgalikda bo‘ladi.
Xuddi shunday ravishda, agar biror a<c<b ichki nuqtada f(c)=m bo‘lsa, unda f ′(c)=0 bo‘lishi ko‘rsatiladi. Teorema isbot bo‘ldi.
Shunday qilib, differensiallanuvchi funksiyaning teng qiymatlari orasida funksiyaning hosilasi hech bo‘lmaganda bitta nuqtada nolga teng bo‘lar ekan.
Roll teoremasi quyidagi geometrik talqinga ega: (a,b) oraliqda differensiallanuvchi (ya’ni oraliqning har bir nuqtasida urinmaga ega) funksiya bu oraliq chegaralarida bir xil qiymatlar qabul etsa, u holda urinmalar orasida kamida bittasi OX o‘qiga parallel va uning burchak koeffitsiyenti k=f′(c)=0 bo‘ladi. (55-rasmga qarang).
Masalan, f(x)=(x–1)∙(x–3)= x2–4 x+3 funksiya [1,3] kesmada Roll teoremasini barcha shartlarini qanoatlantiradi. Bu funksiya hosilasi f′(x)=2x–4 bo‘lib, haqiqatan ham u[1,3] kesmaning ichki c=2 nuqtasida nolga aylanadi.